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giovedì 15 marzo 2018

Breve storia del pi greco / parte 5

Come ogni anno, ecco arrivare dopo il Carnevale della Matematica del pi day, la nuova puntata della breve storia del $\pi$. Anche quest'anno ho deciso di operare un rimontaggio dei contenuti. Buona lettura!


Era il 1621 quando venne dato alle stampe il Cyclometricus di Willebrord Snellius, allievo di Ludolph van Ceulen. Snellius dimostrò che il perimetro del poligono inscritto converge al valore della circonferenza due volte più velocemente rispetto al poligono circoscritto. Da buon allievo di van Ceulen, Snellius riuscì a ottenere 7 cifre decimali per il $\pi$ utilzzando un poligono di 96 lati. Il suo miglior risultato, invece, furono 35 cifre decimali, che migliorava le 32 del suo maestro.
Il miglioramento successivo è datato 1630 ad opera di Christoph Grienberger, ultimo matematico a valutare $\pi$ con il metodo dei poligoni, mentre il primo cambio di metodo di successo arrivò grazie al matematico e astronomo britannico Abraham Sharp che determinò 72 cifre decimali di $\pi$, di cui 71 corrette, utilizzando una serie di arcotangenti. Pochi anni dopo John Machin migliorò ulteriormente il risultato di Sharp con la formula che porta il suo nome e che gli permise di raggiungere il ragguardevole risultato di 100 cifre decimali! \[\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\] L'approccio di Machin si rivelò vincente, tanto che il barone sloveno Jurij Vega migliorò in due occasioni la formula di cui sopra ottenendo un maggior numero di cifre decimali di $\pi$, la prima volta nel 1789 con una formula simile a quella di Euler \[\frac{\pi}{4} = 5 \arctan \frac{1}{7} + 2 \arctan \frac{3}{79}\] quindi nel 1794 con una formula tipo Hutton \[\frac{\pi}{4} = 2 \arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7}\] L'era dell'arcotangente è proseguita con William Rutherford \[\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{70} + \arctan \frac{1}{99}\] quindi il tedesco Zacharias Dase \[\frac{\pi}{4} = \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{1}{8}\] Infine arriva il britannico William Shanks che spingendo al massimo le potenzialità della formula di Machin riuscì ad ottenere 707 cifre decimali, di cui però solo 527 risultarono corrette dopo il controllo di Ferguson nel 1946. Qui, però, siamo nell'era del calcolo meccanico, prologo a quella dei computer. E questa, come si suol dire, è una'ltra storia!

da Frazz di Jef Mallett

Molte delle "apparizioni" di $\pi$ nelle formule matematiche e scientifiche sono strettamente legate con la geometria. Esistono, però, alcune applicazioni in cui ciò non si rivela corretto. Ad esempio nel caso di una corda vibrante all'interno dell'intervallo unitario $[0,1]$.
I modi di vibrazione della corda sono le soluzioni dell'equazione differenziale \[f'' (x) + \lambda f(x) = 0\] dove $\lambda$ è un numero strettamente positivo associato con l'autovalore. Allora, detto $\nu$ il numero d'onda, $\lambda = \nu^2$.
Si osserva che $f(x) = \sin (\nu x)$ soddisfa le condizioni al contorno ed è risultato dell'equazione differenziale per una corda vibrante per $\nu = \pi$, che così coincide con il numero d'onda del modo fondamentale della corda vibrante.

da FoxTrot di Bill Amend

Una delle caratteristiche principali del $\pi$ è la sua invasività nella natura. Sarà perché è definito come il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, e dunque conseguenza delle simmetrie sferiche, sarà per il suo fascino intrinseco, legato forse all'infinità delle sue cifre decimali, fatto sta che lo troviamo anche nel cielo, dove perde la proprietà di numero ma acquista quella di... nome stellare!
Esistono infatti nel firmamento alcune stelle che vengono identificate con $\pi$: ad esempio le sei stelle che costituiscono lo scudo di Orione o la stella doppia Pi Bootis che si trova poco sotto Arturo.

La costellazione di Orione con il suo $\pi$-scudo realizzata con Stellarium - via Universe Today

Si trova anche in una delle equazioni cosmologiche più importanti in assoluto, l'equazione della relatività generale di Einstein: \[R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab} + \Lambda g_{ab} = 8 \pi G T_{ab}\] Si trova sul lato destro, insieme con la costante di gravitazione universale, nel termine che identifica l'energia della materia contenuta nell'universo. Il termine a sinistra, invece, è legato alla curvatura dello spaziotempo, ovvero alla sua geometria, il che rende forse un po' strana la presenza del $\pi$ sul lato destro di questa equazione.
Si sa, però, che la matematica è ricca di misteri misteriosi, e la parte divertente è proprio svelarli!

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