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sabato 15 marzo 2014

Breve storia del pi greco - parte 2

Come l'anno scorso, anche quest'anno ecco l'estrazione delle notizie pi greche per far loro posto in un articolo a parte, consono per l'aggregazione. Ovviamente il Carnevale della Matematica #71 dedicato al pi day è sempre a disposizione per la consultazione.

Warped di Mike Cavna via Bamdad's Math Comics
Una volta introdotto nella matematica il $\pi$, uno dei problemi a margine per la determinazione delle sue cifre fu, evidentemente, comprenderne la sua natura, ovvero che genere di numero esso sia. La classificazione è abbastanza nota e semplice per tutti: avendo come base di partenza i numeri naturali (gli interi positivi e negativi), si possono definire i numeri razionali, ovvero quelli generati dal rapporto di due numeri naturali. Ciascun numero razionale può quindi essere espresso nella forma $\frac{a}{b}$, con $a$, $b$, naturali e $b$ non nullo.
Il primo a dimostrare la natura irrazionale di $\pi$ fu Johann Heinrich Lambert nel 1761 in Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques:
che in termini moderni può essere scritta come segue: \[\tan(x) = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - {}\ddots}}}}\] Lambert dimostrò che se $x$ è non nullo e razionale, allora questa espressione deve essere irrazionale. E poiché $\tan (\pi /4) = 1$, segue che $\pi$ è irrazionale.
Una semplificazione di questa dimostrazione è stata proposta da Laczkovich nel 1997, mentre Li Zhou, nel 2009, ne ha proposto una variazione che fa uso del calcolo integrale.
In particolare la seconda dimostrazione dell'irrazionalità di $\tan x$ e quindi di $\pi$ prende ispirazione dalla dimostrazione del 1873 che Charles Hermite lasciò in due lettere a Paul Gordan e Carl Borchardt. Una semplificazione di questa dimostrazione, che utilizza la tecnica della riduzione per assurdo, è stata proposta da Mary Cartwright, così come divulgato da Harold Jeffreys in Scientific interference del 1973.
Un'ultima dimostrazione dell'irrazionalità di $\pi$, che sta tra l'altro in una paginetta, è data da Ivan Niven nel 1946. La trascendenza di $\pi$, invece, così come quella di $e$, è una diretta conseguenza del teorema di Lindemann-Weierstrass che afferma che, dati $\alpha_1$, $\cdots$, $\alpha_n$ numeri algebrici linearmente indipendenti nel campo dei numeri razionali, allora $e^{\alpha_1}$, $\cdots$, $e^{\alpha_n}$ sono algebricamente indipendenti sui razionali, dove per numero algebrico si intende un numero che è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali.
Nel 1882 Lindemann, utilizzando proprio questo teorema, dimostrò che $e$ è trascendentale, e quindi, utilizzando l'identità di Eulero, si può dimostrare anche la trascendenza di $\pi$.

da Mysterius di Leo Ortolani
Il pi greco è definito come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo raggio, però può essere calcolato/definito anche grazie a una serie di formule, che sono cresciute negli anni con l'aumentare dell'interesse nei suoi confronti. L'anno scorso abbiamo visto un folto gruppo di formule:
  • formula dei Chudnovsky
  • formula BBP
  • formula di Bellard
  • formula di Rabinowitz e Wagon
  • una formula di Ramanujan
Sono solo una piccola parte (considerate che uno dei maggiori contributori è stato Ramanujan), e mi sembra giusto, con il nuovo pi day, proseguire l'elenco. Partiamo da una delle più semplici, oltre che una delle più esatte, la formula di Machin: \[\frac{1}{4} \pi = 4 \tan^{-1} \frac{1}{5} - \tan^{-1} \frac{1}{239}\] Machin trovò, comunque, altre tre formule di questo genere, dove cambiano semplicemente i numeri all'interno delle funzioni.
Un'altra formula per il calcolo del $\pi$ è la formula di Leibniz e Gregory: \[\frac{\pi}{4} = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}\] La serie, in effetti, è nota anche come semplicemente serie di Leibniz. Solo successivamente si associò a essa anche il lavoro di James Gregory, che la riscoprì e la pubblicò nel 1668: il suo primo scopritore, però, fu, nel XIV secolo, il matematico e astronomo indiano Madhava di Sangamagrama.
La formula può essere opportunamente modificata per accelerare la sua convergenza inserendo al suo interno la funzione $\zeta (z)$, ovvero la zeta di Riemann: \[\pi = \sum_{k=1}^\infty \frac{3^k-1}{4^k} \zeta (k+1)\] Sempre restando sulle serie storiche, ecco quella di Abarham Sharp, del 1717 circa: \[\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2 (-1)^k 3^{1/2 - k}}{2k+1}\] Anche Eulero si interessò al $\pi$: è infatti grazie al suo lavoro se oggi chiamiamo questo numero trascendentale pi greco, ed è ovviamente sua la famosa identità di Eulero, che unisce le due costanti più importanti della matematica, oltre a rappresentare anche una possibile sintesi della matematica stessa: \[e^{i \pi} + 1 = 0\] La serie particolare, scoperta da Eulero, per il calcolo del $\pi$ è, però, una produttoria, che lega il numero archimedeo con gli ennesimi numeri primi $p_n$: \[\pi \frac{2}{\prod_{n=1}^\infty \left ( 1 + \frac{\sin \left ( \frac{1}{2} \pi p_n \right )}{p_n} \right )}\] che può anche essere rappresentata graficamente:
Una delle sfide matematiche più impegnative dell'ultimo secolo e mezzo, non ancora risolta, è la distribuzione dei numeri primi, che coinvolge la famosa zeta di Riemann, che come abbiamo visto può essere utilizzata per calcolare il $\pi$.
Una possibile conseguenza di ciò è, quindi, immaginare che le cifre che costituiscono $\pi$ non sono distribuite in maniera casuale, ma potrebbero così presentare una certa regolarità. Caldwell e Dubner si muovono proprio in quella direzione quando, esaminando tutte le prime 10 cifre di $\pi$, vanno a determinare quanti numeri primi si trovano all'interno di queste cifre, determinando alla fine un totale di 14 numeri primi, la maggior parte dei quali da una cifra.
Come vedete nella tabella, i numeri primi da una cifra possono tranquillamente ripetersi (3 e 5 si ripetono due volte, per esempio), mentre i primi con più di una cifra vengono costruiti utilizzando solo cifre che all'interno dello sviluppo di $\pi$ sono una accanto all'altra.
A quel punto non ci si può accontentare e il passo successivo è calcolare la probabilità di trovare un numero primo di date cifre all'interno di una sequenza di cifre di $\pi$ estratta casualmente:
E' uno di quei problemi per cui i matematici non trovano una utilità pratica, ma che su tempi lunghi permette di costruire tecniche di calcolo, analitico e numerico, che permettono di risolvere problemi che potrebbero avere una certa utilità anche in altre discipline.

da An episode of Flatland di Charles Howard Hinton
Le cifre che costituiscono il pi greco sono infinite e a tutt'oggi se ne conoscono circa 5 trilioni. Così come calcolarle è impresa di per sé abbastanza ardua, anche mostrarle tutte non è semplice, anche se è certo molto più semplice che vederle tutte. A meno che non ci si accontenti di una visualizzazione al tempo stesso semplice e spettacolare, che se da un lato fa perdere il dettaglio delle cifre, dall'altro mostra il livello di casualità nella distribuzione delle stesse.
L'idea della visualizzazione delle cifre delle costanti matematiche irrazionali e trascendentali nasce proprio a margine della ricerca sulla normalità di tali numeri, dove un numero reale $a$ è detto normale nella base $b$ se ogni stringa di $m$ cifre compare nel numero con una frequenza pari a $1/b^m$.
Conseguenza di questa ricerca, che è anch'essa figlia della domanda se le cifre di $\pi$ sono distribuite casualmente o meno, condotta da Bailey e dai fratelli Borwein (gli stessi della formula BBP) è la rappresentazione grafica delle cifre del pi greco che fa ampio utilizzo dei cammini casuali:


Approfondimenti:
Lambert su The world of $\pi$
James Constant. Elementary proof that $\pi$ is irrational
Xavier Gourdon, Pascal Sebah. Numbers, constants and computation
Samuel Arbesman. A Random Walk with Pi
Walking on Real Numbers

Bibliografia:
Laczkovich M. (1997). On Lambert's Proof of the Irrationality of π, The American Mathematical Monthly, 104 (5) 439-443. DOI:
Li Zhou (2009). Irrationality proofs à la Hermite, arXiv: 0911.1929v2
Zhou L. & Markov L. (2010). Recurrent Proofs of the Irrationality of Certain Trigonometric Values, American Mathematical Monthly, 117 (4) 360-362. DOI: (arXiv)
Niven I. (1947). A simple proof that $\pi$ is irrational, Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (6) 509-510. DOI:
Chow T.Y. (1999). What is a Closed-Form Number?, The American Mathematical Monthly, 106 (5) 440. DOI: (pdf)
Bailey D.H., Plouffe S.M., Borwein P.B. & Borwein J.M. (1997). The quest for PI, The Mathematical Intelligencer, 19 (1) 50-56. DOI: (pdf)
Jesus Guillera (2008). History of the formulas and algorithms for pi, La Gaceta de la RSME, 10 (2007) 159-178, arXiv:
Philippe Flajolet, Ilan Vard. Zeta Function Expansions of Classical Constants (pdf)
Wikipedia: Leibniz formula for $\pi$
Weisstein, Eric W. "Pi Formulas" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Chris K. Caldwell, Harvey Dubner. Primes in Pi. Journal of Recreational Mathematics, Volume 29, Number 4, 1998 (pdf)
Aragón Artacho F.J., Bailey D.H., Borwein J.M. & Borwein P.B. (2013). Walking on Real Numbers, The Mathematical Intelligencer, 35 (1) 42-60. DOI:
Bailey D.H., Borwein J.M., Calude C.S., Dinneen M.J., Dumitrescu M. & Yee A. (2012). An Empirical Approach to the Normality of π, Experimental Mathematics, 21 (4) 375-384. DOI:
Aistleitner C. (2013). Normal Numbers and the Normality Measure, Combinatorics, Probability and Computing, 22 (03) 342-345. DOI: (arXiv)

1 commento:

  1. I have read your article about "Pi" I think π is a mathematical constant, the ratio of a circle’s circumference to its diameter, It's value almost equal to 3.14159. The article which you have shared regarding “Pi” is very helpful for me. I appreciated your work. You have done great job. Keep it up. last week i have found a website with the help of this website my kids learn math free of cost. I would like to share this website here. Math Worksheets For Kids

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