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sabato 14 marzo 2015

Carnevale della Matematica #83

Benvenuti, come ogni 14 del mese, al Carnevale della Matematica. E ben trovati sulle pagine elettroniche di DropSea che per il 4.o anno consecutivo ospita il Carnevale nel pi day, il giorno in cui si festeggia il pi greco e la matematica tutta. Quest'anno, poi, la ricorrenza è persino epica, visto che si possono festeggiare fino a 9 cifre decimali, riuscendo a conteggiare anche i secondi (cosa impossibile al momento con blogger...). Ad ogni modo, nel corso di questa edizione, come già accaduto per i due precedenti pi day, potrete leggere le "notizie pi greche", ovvero dei piccoli box con curiosità e approfondimenti dedicati al numero famoso archimedeo. Invece nell'introduzione, come da tradizione, andrò ad approfondire alcune delle caratteristiche dell'83, 23° numero primo compreso tra il 79 e l'89.
Sul numero che contraddistingue questa edizione (che in base 8 si scrive 123 che, tra le altre cose, è il nome di uno degli avi degli attuali fogli di calcolo) c'è, però, poco da raccontare: il nostro è la somma di tre numeri primi consecutivi, $23 + 29 + 31$, nonché di 5 numeri primi consecutivi, $11 + 13 + 17 + 19 + 23$, ed è anche la somma dei primi tre numeri primi la cui ultima cifra è 1, $11 + 31 + 41$. Inoltre è la somma dei quadrati dei primi tre numeri dispari, $3^2 + 5^2 + 7^2$. Infine è il numero primo più grande (tra quelli noti) ad essere la somma di tre numeri triangolari distinti, $10 + 28 + 45$.
Se, poi, proviamo a mettere in file tutti i numeri primi, osserviamo che proprio con l'83 compare per la prima volta la cifra "8", completando l'elenco di tutte le cifre da 1 a 9.
E' anche un primo di Sophie Germain: ovvero un dato numero primo $p$ è detto primo di Sophie Germain se anche $2p +1$ è un numero primo, e infatti 167 è primo. 83 è anche un numero primo sicuro, ovvero un numero primo di Sophie Germain generato da un altro numero primo (che evidentemente è anch'esso di Sophie Germain), e infatti 83 è generato dal 41, che è primo.
83 è anche un numero primo di Chen, dove un numero primo $p$ è detto di Chen se $p+2$ è primo o se è un prodotto di numeri primi. Esempio: 83 è primo di Chen perché $85 = 83 + 2 = 5 \cdot 17$.
83 è poi un numero primo di Eisenstein con parte immaginaria nulla e parte reale della forma $3n - 1$. Anche in questo caso ricordo che un primo di Eisenstein è così definito: \[z = a + b \omega\] dove \[\omega = e^\frac{2i \pi}{3} = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\] Questo numero qui, però, per essere primo deve essere irriducibile, ma la sua irriducibilità è da intendersi nel senso della teoria degli anelli e può essere riassunta attraverso queste due semplici regole, che quando verificate fanno del numero un primo di Eisenstein:
  1. $z$ è il prodotto tra un numero primo della forma $3n-1$ e una unità dell'anello;
  2. $|z|^2 = a^2 − ab + b^2$ è un numero primo.
A causa della complessità di $\omega$, esistono anche primi di Eisenstein non reali.
Tra le sue proprietà più curiose c'è anche il fatto che $83^4 + 2$ è un numero primo, così come è primo anche $2^{83} - 83^2$.
Se poi provate a fare la somma delle cifre di 3999998999 (che è un numero primo!), otterrete un altro numero primo, l'83!
Il quadrato di 83, 6889, è un numero strobogrammatico, ovvero un numero che, ruotato di 180° è ancora uguale a se stesso. Tra l'altro 83 è il numero primo più piccolo ad avere questa singolare proprietà.
Infine 83 è il numero atomico del bismuto, che è l'elemento più pesante a non essere radioattivo.
Altre curiosità sull'83 su Prime Curios!
Iniziamo il Carnevale con una domanda: come è andato il pi day 2014? Spero bene per tutti, ma sicuramente per molti sarà stato faticoso, sebbene ricco di soddisfazioni. In effetti è così che si potrebbe riassumere l'esperienza di Cristina Sperlari, maestra in questo periodo sempre impegnata nell'organizzazione del pi day per i suoi allievi. Mi sembra, quindi, giusto iniziare con il suo post dedicato alla festa della matematica dell'anno scorso, un modo utile per introdurre la giornata e prepararsi a quel che ci aspetta! Il post, quindi:
Racconta del Pi day 2014 che si è svolto alla scuola primaria del mio paese, Uggiate Trevano in provincia di Como. È stata una bella iniziativa, un grande laboratorio che ha coinvolto tutte le 13 classi e ha permesso ai bambini di festeggiare nel vero senso della parola la matematica e scoprire i suoi lati più interessanti e curiosi da vicino.
Iniziamo, però, il Carnevale della Matematica #83 con i primi contributi, inviati da Spartaco Mencaroni, il letterato del gruppo, che quest'anno propone ben due post (sono lunghi, mettetevi comodi). Si inizia con con il racconto Eroe di guerra:
Questa frustrante storiella senza capo né coda (anzi, con un solo capo a far da coda, e viceversa) prende spunto dalle superfici non orientabili e in particolare dalla bottiglia di Klein. La peculiare struttura narrativa infatti è organizzata in modo che il "collo" della bottiglia sia rappresentato dal momento in cui una storia arriva al suo acme, o ad un nodo strategico della trama; ed è proprio in quel momento che il flusso narrativo "penetra" dentro la superficie di un'altra storia; quando all'ultimo snodo si ritorna, in maniera ricorsiva, alla prima cornice, questo rappresenta il punto in cui il collo della bottiglia si inserisce nel fondo, confondendo definitivamente l'interno e l'esterno. Una storia, appunto, non orientabile.
Forse Hofstadter potrebbe parlare di "strani anelli"... io e il Coniglio, al massimo, possiamo scusarci per questa strana "carota" ripiegata su sé stessa che vi abbiamo offerto!
Per il secondo, invece, il buon Spartaco spera non ci sia nessuno che voglia linciarlo. Per parte mia vi propongo solo un consiglio: non fermatevi all'abstract, perché, come sempre, tra l'apparenza e la sostanza, conta quest'ultima! Ad ogni modo ecco a voi Relazione fra rapporto rinocraniale ed età anagrafica nel "Suis loquens anglicus":
Il tema di questo paper, del tutto impresentabile, è solleticare l'idea che la scienza possa applicarsi ai contesti più imprevedibili e inattesi, e che a volte proprio dai momenti meno adatti alla speculazione e più ostili all'intelletto possano germogliare inattesi barlumi di verità scientifica, nonostante la presenza quotidiana di fattori che minacciano di trasformare le sinapsi in un groviglio di alghe disseccate.
Più nello specifico, ci si chiede se esista un metodo matematico per calcolare l'età dei maiali di Peppa Pig in base al rapporto fra il naso e la faccia.
Tra l'altro Spartaco, quest'anno, mi ha fatto anche una discreta pubblicità, e ha spinto il buon Michele Scarparo, che ha inviato quella che definisce la sua "piccola sciocchezza" (che poi è un racconto sul pi greco e sulla fine del mondo, o qualcosa del genere!), Il disastro del ciclo - Una storia di donne e matematica.
Notizie pi greche #9

Calvin & Hobbes di Bill Watterson
Le tecniche di costruzione geometriche degli antichi greci erano dette "con riga e compasso". In questo modo è possibile costruire una gran quantità di poligoni regolari, per esempio, ma esistono tre problemi che risultano impossibili a meno di non utilizzare tecniche differenti: la trisecazione di un angolo, la duplicazione del cubo, la quadratura del cerchio.
In particolare per la quadratura, è semplice vedere come, detto $r$ il raggio del cerchio, il lato del quadrato con la stessa area sarà \[l = \sqrt{\pi} r\] Poiché il nostro amato pi greco è un numero trascendentale, la formula qui sopra è la più semplice rappresentazione dell'impossibilità della quadratura del cerchio utilizzando riga e compasso, con i quali è possibile trattare numeri razionali e irrazionali, come per esempio $\sqrt{2}$ (in questo caso basta semplicemente disegnare un quadrato di lato 1).
Utilizzando questi due strumenti è possibile ottenere una costruzione approssimata e, quindi, un corrispondente approssimato valore per il pi greco. In era moderna si contano approssimazioni di C.D. Olds (1963), Martin Gardner (1966), Benjamin Bold (1982), tutte alla fine variazioni sulla costruzione geometrica di Srinivasa Ramanujan del 1913 che approssimò pi greco con la frazione \[\frac{355}{113} = 3.1415929203539823008 \dots\] corretto fino alla sesta cifra decimale.
Sempre Ramanujan ottenne l'anno dopo un'approssimazione ancora più accurata (fino all'ottava cifra decimale), sempre utilizzando riga e compasso: \[\left( 9^2 + \frac{19^2}{22} \right )^{1/4} = \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.1415926525826461252 \dots\]
Se però al compasso e alla riga aggiungiamo anche un po' di meccanica riusciamo a ottenere una interessante quadratura del cerchio (con conseguente misura del pi greco!). Prendiamo una circonferenza di raggio $r$ e facciamola rotolare con velocità costante lungo una sua retta tangente. Il punto di tangenza $N$ descriverà una curva detta cicloide.
E' possibile, poi, costruire una seconda cicloide utilizzando la proiezione del punto $M$ (l'estremo del diametro perpendicolare al raggio cui appartiene $N$) sulla retta tangente. L'intersezione $B$ del diametro $NN'$ con questa seconda cicloide ci fornirà un segmento di lato $NB$ la cui lunghezza sarà pari a $\sqrt{\pi} r$, ovvero il lato del quadrato con area identica al cerchio di partenza. Dividendo, quindi, il segmento così costruito per il raggio del cerchio di partenza è possibile, alla fine determinare il valore del pi greco.
E come suggerito questa costruzione non è semplicemente geometrica, ma possiamo anche farla realmente, magari con un piccolo disco di ottone come suggerisce August Zielinski, il propositore del metodo di quadratura or ora sommariamente descritto.
Ovviamente in questo caso la precisione del valore di pi greco determinato dipende dalla precisione del metodo di misurazione.
Articoli di Ramanujan sulla quadratura:
Squaring the circle, Journal of the Indian Mathematical Society, V, 1913, 132
Modular equations and approximations to $\pi$, Quarterly Journal of Mathematics, XLV, 1914, 350 – 372
Entrambi possono essere trovati su due siti che raccolgono i suoi articoli: nel primo sono in una versione sistemata tipograficamente per il web (anche però in versione stampabile, grazie al LaTeX), nel secondo sono invece presenti le versioni scannerizzate.
Zielinski A. (1875). Quadrature of the Circle, The Analyst, 2 (3) 77 (archive.org)
Altri approfondimenti:
su Crop Circles and More e su McTutor. Inoltre un testo interessante per ricapitolare la storia sulla quadratura è Squaring the circle: a history of the problem di E. W. Hobson
Dopo la letteratura, passiamo alla letteratura e alla musica con Flavio Ubaldini:
È noto che i pittori medioevali, soprattutto fino al XIII sec., non riuscivano a rappresentare molto bene la dimensione della profondità spaziale. Ma, a partire dal XIV secolo, la Prospettiva cominciò a imporsi. E il primo a ideare un metodo per rappresentare gli edifici in prospettiva fu...
Lo so che siete lì, che volete sapere "chi fu! chi fu!" E allora un solo consiglio, andate a leggere La nascita della prospettiva e i suoi aspetti geometrici.
Il buon Flavio manda anche un secondo contributo, il cui titolo dice (più o meno) tutto: Come è stato scelto il genere dei nomi tedeschi?. Ovviamente... "mathematics rules"!
L'ultimo contributo di Flavio è, infine, di genere musicale: in luogo dell'usuale (da qualche edizione) cellula melodica dedicata all'ordinale del carnevale, ecco invece la cellula melodica dedicata al $\pi$: 14 marzo 2015 senza versi. Solo con 3, 2 × 7 3 × 5
83 è un numero primo troppo grande per essere incluso nella cellula melodica gaussiana. Purtroppo la melodia gaussiana non è come la poesia: ha dei buchi. Pure se inserissimo i quarti di tono indiani prima o poi arriveremmo a un limite. L'unica soluzione sarebbe poter avere una variazione continua delle frequenze ma poi dovrei anche creare un nuovo modo per rappresentare le note
Sono alcuni anni che, grazie a twitter, l'ho conosciuto. Abbiamo anche scherzato con la fisica scrivendo a colpi di 140 caratteri una sorta di favoletta sulla fisica, però quando ho scoperto che stava leggendo un vero e proprio best seller della divulgazione matematica, gli ho chiesto di scrivermi una recensione. E il nostro, che ama firmarsi pollo sbattuto, l'ha fatto:
questa recensione di teorema vivente di cédric villani, contiene parole minuscole e poca punteggiatura. leggere il libro é preferibile
Alan Turing
Needed reassuring
That a Turing machine made of papyrus
Was immune to almost every virus.

(Jonathan Partington via Popinga)
Il primo tocco gentile di questo Carnevale, l'apostrofo rosa tra tanti maschietti matematti, lo porta Annalisa Santi con Gli Ig Nobel, i premi incredibili che fanno pensare
Anche se la storia degli Ig Nobel è piena di premi assegnati a ricerche assolutamente incredibili, molte hanno poi portato a riflessioni e considerazioni sul loro effettivo valore scientifico (in matematica, fisica, chimica, economia, psicologia, letteratura........) così come recita il loro slogan: "premiare studi e ricerche che prima hanno fatto ridere e poi pensare" I premi sono a volte quindi velate critiche (o dolce satira ), ma sono utilizzati anche per sottolineare come le più assurde ricerche possano produrre conoscenze utili.
Proprio come quella di cui parlo, premiata per l'Economia 2014, dell'Istat con la motivazione, che ha fatto molto discutere (a volte con troppa superficialità), "per essersi orgogliosamente assunta il compito di adempiere al mandato dell'Unione Europea di aumentare la dimensione ufficiale dell'economia nazionale includendo i ricavi da prostituzione, vendita di droghe illegali, contrabbando, e tutte le altre operazioni finanziarie illecite".
Colonna dei Carnevali, Roberto Zanasi quest'anno il libro non l'ha scritto, però, in compenso, ha fatto di meglio: ha scritto Polinomi e dadi
che racconta di come un semplice problema di calcolo combinatorio possa portare a incontri inaspettati...
A corollario del post di Roberto ci sono poi due programmini in Haskell di Giuseppe Lipari dalle pagine elettroniche di Ok, Panico. I due programmi servono
per calcolare la probabilità di estrarre un dato numero tirando 5 dadi. Nei commenti troverete anche un programmino di sole 3 righe che fa la stessa cosa con il linguaggio matematico "J".
Ed eccoci al poliedrico Walter Caputo, che si presenta con un tris di contributi tutti ispirati alla 12.ma Festa della Matematica tenutasi a Torino il 6 marzo 2015. Si parte con La formula segreta sulla conferenza di Daniele Squassina sulla storia dietro la risoluzione delle equazioni di terzo grado. A seguire ecco Come scoprire la matematica in ogni angolo, sintesi fotografica della conferenza di Giovanni Filocamo durante la Festa. A completamento del foto racconto c'è anche l'intervista a Filocamo.
Notizie pi greche #10

Fox Trot di Bill Amend
Tra le molte formule per calcolare il pi greco ha un posto particolare il prodotto di Wallis, scoperto più o meno per caso dal matematico John Wallis mentre stava cercando di calcolare l'area di un cerchio. \[\prod_{n=1}^\infty \left ( \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} \right ) = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot {4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots = \frac{\pi}{2}\] Wallis presentò la sua formula nel suo libro più famoso, Arithmetica infinitorum (l'aritmetica degli infiniti) del 1665, fondamentale per esempio nella formazione di Isaac Newton, che in un certo senso ne prese il posto come punto di riferimento per la matematica britannica.
La storia della formula, però, inizia in Italia nel 1632 con la pubblicazione de Lo Specchio Ustorio, overo, Trattato delle settioni coniche dove il matematico Bonaventura Cavalieri calcola l'area sotto "parabole" del tipo $y = x^n$. Cavalieri procedette calcolando l'area compresa tra gli assi e le curve del tipo \[y = \left ( 1-x^2 \right )^0, \; y= \left ( 1-x^2 \right )^1 \; y= \left ( 1-x^2 \right )^2\; y= \left ( 1-x^2 \right )^3, \; \cdots\] ottenendo rispettivamente \[x,\] \[x - \frac{1}{3} x^3,\] \[x - \frac{2}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5,\] \[x - \frac{3}{3} x^3 + \frac{3}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7,\] \[x - \frac{4}{3} x^3 + \frac{6}{5} x^5 - \frac{4}{7} x^7 + \frac{1}{9} x^9,\] \[\cdots\] Poiché l'equazione del cerchio di raggio 1 è $y = \left ( 1-x^2 \right )^{1/2}$, il problema si riduce a determinare l'espressione corrispondente all'esponente $\frac{1}{2}$ compresa tra $x$ e $x - \frac{1}{3} x^3$.
Non riuscendo a determinare tale espressione, Wallis portò a termine una serie di calcoli numerici che lo condussero alla fine alla formula che porta il suo nome.
Un dimostrazione più o meno semplice della formula passa attraverso la definizione di tre nuove serie numeriche e il calcolo dell'area di una serie di rettangoli nel piano cartesiano: geometricamente parlando dimostrare la formula è come calcolare il limite di due archi di circonferenza, uno superiore e uno inferiore, che si avvicinano al contorno dei rettangoli, fino ad coincidere con esso al raggiungimento del valore di $\frac{\pi}{2}$.
Una dimostrazione più rigorosa, invece, che prende la strada della dimostrazione della formula di Cavalieri, passa attraverso l'integrale del seno \[\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x dx\] E' poi possibile, utilizzando opportunamente la funzione eta di Dirichlet, determinare un legame tra la zeta di Riemann e la formula di Wallis, il che è anche abbastanza scontato visto che la zeta di Riemann è legata proprio al pi greco.
Wildberger N.J. (2002). A New Proof of Cavalieri's Quadrature Formula, The American Mathematical Monthly, 109 (9) 843. DOI: http://dx.doi.org/10.2307/3072373 (academia.edu
Young R.M. (1998). Probability, pi, and the Primes: Serendipity and Experimentation in Elementary Calculus, The Mathematical Gazette, 82 (495) 443. DOI: http://dx.doi.org/10.2307/3619891
Wästlund J. (2007). An Elementary Proof of the Wallis Product Formula for pi, The American Mathematical Monthly, 114 (10) 914-917. DOI: http://dx.doi.org/10.2307/27642364 (pdf)
Per approfondire:
Wallis Formula su Mathworld, The world of $\pi$, Math fun facts
Un'altra colonna del Carnevale sono gli amorevoli Rudi Mathematici (e i fidi seguaci del Carnevale sanno perfettamente a cosa mi riferisco!). Come ogni anno, il piatto è ricco e mi ci ficco:
  • Il PM sul Toziente:
    ...che il Toziente è sempre stata una passione del nostro amato capo, Rudy, e bisogna riconoscere che è un oggettino matematico sorprendente...
  • Il primo classico da Canterbury
    ... dove per "classico" noi si intende "indovinello classico dei grandi della matematica ricreativa", e con questo iniziamo seriamente a spulciare la pletora dei "Canterbury Puzzles", dove Dudeney fa il verso a Chaucer.
  • Per la serie sui giochi da scacchiera (insomma, gli "Zugzwang!", per chi legge RM...) parliamo di quella bella perversione orientaleggiante che è il Gonnect
  • Indi, non possiamo citare il post contrattuale e istituzionale che riporta la soluzione (le soluzioni? le ipotesi? le discussioni?) del rituale problema pubblicato sulla rivista madre del nostro blog, "Le Scienze"
  • Infine il collettore di tutte le nostre triplici gocce di sudore, RM, giunto al numero d'ordine 194, uscito in ritardo ma almeno in tempo per lo scintillante Carnevale del PiDay: ecco il pdf
Dopo cotanta grazia, direi che ci meritiamo anche altrettanta bellezza, con i sempre bei contributi di Annarita Ruberto. Quest'anno invia, come fresco fresco e a tema, Un po'di cose su pi greco:
si tratta del commento ad un video di Numberphile, in cui viene presentato un interessante dialogo tra Alex Bellos, il noto autore di best seller, appassionato di matematica (che ha anche studiato tale disciplina), e il professor Roger Bowley dell'Università di Nottingham: l'argomento è ovviamente pi greco!
Seguono due poesie sul celebre numero.
Mentre dagli archivi ecco ripescato Area del cerchio e metodo degli indivisibili.

Idee per sculture di Henry Miller
E ora mettiamoci comodi perché i contributi sono tanti e il nome Maurizio .mau. Codogno vuol dire qualità. Iniziamo con quelli pubblicati sul Post:
  • Chi non si vaccina fa ammalare anche te, una spiegazione dell'"effetto gregge", cioè del motivo per cui la mancata vaccinazione di un certo numero di persone può dare problemi anche a chi si è vaccinato.
  • Inflazione linguistica, che racconta di come "year" e "hour" hanno la stessa radice indoeuropea ma hanno percorso strade diverse
  • Il giorno sequenziale, che segnala una data meno famosa del Pi Day ma che quest'anno può dare delle soddisfazioni.
  • Gini e il suo coefficiente: nel giorno dei cinquant'anni dalla morte di Corrado Gini, statistico italiano noto soprattutto per il suo coefficiente, ecco due parole su di lui
Finito con il Post, ecco arrivare le Notiziole. Si parte con le recensioni:
  • Tre in uno, ebook dal testo non dei più interessanti ma con una sterminata biografia ragionata di matematica ricreativa;
  • The Best Mental Math Tricks, ebook di Presh Talwalkar che racconta (e spiega matematicamente...) moltissimi trucchi per fare conti a mente in maniera apparentemente magica;
  • Serie poco serie, un nuovo ebook (finalmente!) di #Altramatematica. Un libro-game che sfrutta al massimo epub2.
  • Sempre sull'argomento libri segnalo Italo Ghersi, chi era costui?: dell'autore di "Matematica dilettevole e curiosa" non si sa praticamente nulla.
Ci sono poi giochi della domenica e quizzini:
Notize pi greche #11

Shoe di MacNelly
Uno degli aspetti più stupefacenti della matematica è la pervasività dei numeri trascendentali nella realtà, che sembra confermare l'idea di Cantor che la matematica e i numeri abbiano una loro realtà su cui si basa quella del nostro mondo. Ad esempio il numero phi è presente in molte strutture naturali grazie alla spirale di Fibonacci. Anche il pi greco è presente, e non solo nella forma del cerchio. Nel 2010, infatti, un gruppo di neuroscienziati hanno scoperto che tre specie differenti di mammiferi (il galago, il toporagno, il furetto) condividono una organizzazione simile dei neuroni della corteccia visiva che presenta una densità molto vicina al valore del pi greco!
Il capo del gruppo di ricerca, Fred Wolf, si è interessato per anni dell'argomento, provando a sviluppare una teoria riguardo lo sviluppo della mappa cerebrale basata su metodi matematici utilizzati nella fisica per lo studio della formazione delle strutture. L'idea di base è quella di utilizzare due variabili (preferenza di orientamento e selettività) e quindi svilupparle introducendo nel gioco delle interazioni mutuali. A questo si aggiunge l'assunzione che queste interazioni rispettano una simmetria di base (ad esempio siti vicini dovrebbero avere una forma simile) e l'assunzione dell'esistenza di interazioni a lungo raggio. Dallo studio matematico e numerico emerge che le mappe generate presentano una densità molto vicina a quella del pi greco, risultato che nel 2010 si è rivelato per la prima volta corretto esaminando le mappe dei tre mammiferi di cui sopra.
Quindi esistono sul pianeta dei mammiferi che "vedono" il pi greco, e forse ha ragione chi pensa che in realtà la Terra è un immenso calcolatore i cui abitanti sono i chip che stanno perfezionando il calcolo per trovare la domanda fondamentale la cui risposta è... 42!
Miller K.D. (2010). $\pi$ = Visual Cortex, Science, 330 (6007) 1059-1060. DOI: http://dx.doi.org/10.1126/science.1198857
Kaschube M., S. Lowel, D. M. Coppola, L. E. White & F. Wolf (2010). Universality in the Evolution of Orientation Columns in the Visual Cortex, Science, 330 (6007) 1113-1116. DOI: http://dx.doi.org/10.1126/science.1194869
Cross M. & Hohenberg P. (1993). Pattern formation outside of equilibrium, Reviews of Modern Physics, 65 (3) 851-1112. DOI: http://dx.doi.org/10.1103/revmodphys.65.851 (pdf)
Kaschube M., Schnabel M. & Wolf F. (2008). Self-organization and the selection of pinwheel density in visual cortical development, New Journal of Physics, 10 (1) 015009. DOI: http://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/10/1/015009
Kaschube M., Wolf F., Geisel T. & Löwel S. Genetic influence on quantitative features of neocortical architecture., The Journal of neuroscience : the official journal of the Society for Neuroscience, PMID: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/12177215
Un gruppo che è piuttosto numeroso e sempre generoso di contributi è quello dei MaddMaths di Roberto Natalini, che tra l'altro ospiterà la prossima edizione del Carnevale. Questi i loro contributi: Dopo cotanto ardore, un po' di calma e leggerezza ci vuole, con Leonardo Petrillo che, dal Tamburo Riparato, partecipa con Pi greco e il problema delle lenzuola:
Trattasi di un post in cui vengono ripercorse brevissimamente alcune principali tappe della storia del pi greco e che va ad analizzare un contesto particolare in cui il celebre numero fa capolino: il problema delle lenzuola!

Mary Death di Matthew Tarpley
Le calze sono il miglior esempio di entanglement: se una si trova nello stato "destra", l'altra è immediatamente "sinistra", e viceversa.
Popinga
Rock star del gruppo è, invece, Paolo Alessandrini, che per questo mese propone Gli enigmi di Coelum: alberi nel cielo:
Si tratta della prima "puntata" di una serie di post in cui riproporrò gli approfondimenti a suo tempo usciti sul sito della rivista Coelum Astronomia e riguardanti i temi di matematica ricreativa trattati negli articoli della rubrica Moebius della rivista cartacea.
Passiamo ora a Mauro Merlotti, bravo blogger scientifico che si divide tra la fisica e la matematica. Per questo pi day ha selezionato per noi:
  • Ottagoni e Sezione Aurea: Qui si parla di Castel del Monte, splendido esempio di patrimonio dell'umanità, dove la matematica trova una bella applicazione pratica.
    Si parla quindi di Ottagoni e Sezione Aurea, ma si può trovare anche Fibonacci, la Piramide di Cheope, cartelli stradali, Palmanova, la galleria Vittorio Emanuele II di Milano, la sezione d’Argento e quella di Piombo. Tutto questo tenuto insieme dal filo rosso della matematica.
  • Castel del Monte e Frattali: Quando sentiamo la parola "frattali" pensiamo subito a qualche cosa di complicato o meglio di “infinitamente complicato” nel senso di un oggetto molto intricato, che, per quanto lo si continui ad ingrandire, non si riesce a risolvere nella sua struttura elementare. Quello che stupisce è come i matematici riescano sempre a trovare il modo di "domare" questi "mostri". I fisici di solito arrivano qualche decennio dopo e forse in questo caso non hanno ancora trovato il modo di utilizzare i frattali, come ha fatto Einstein con la geometria non euclidea di Riemann.
    In questo post viene mostrato un esempio di calcolo della dimensione frattale.
A questi due Mauro aggiunge anche un post sui prodotti infiniti, che direi non ha bisogno di altro per essere presentato.
Nonostante abbia scritto poco nell'ultimo periodo, anche Jean Morales partecipa volentieri alla festa, con Il piccolo di Fermat, googol divisibili per 7 e 360 palline colorate:
L'articolo ha un contenuto composito. In una prima parte c'è una descrizione del Piccolo teorema di Fermat, con una dimostrazione di carattere combinatorio e un esempio con qualche semplice caso per capirne meglio il significato. Una seconda parte è dedicata invece alla divisione che verifica il teorema per il caso scelto: questa divisione presenta una regolarità che si può sfruttare per costruire un numero di dimensione qualsiasi (anche un googol) e che sia multiplo di un un qualche numero (ad esempio 7). In ultimo, la divisione di prima è ulteriormente generalizzata per portare ad un problema lasciato in mano ai lettori. E le 360 palline colorate? Naturalmente hanno un significato legato all'articolo.
Notizie pi greche #12

Frank & Ernest di Bob Thaves
Come ricorda la voce narrante a Paperino ne Il paese della matematgica, il simbolo dei pitagorici è il pentagono, figura regolare costituita da cinque lati uguali. Esso può essere costruito all'interno di un cerchio utilizzando semplicemente riga e compasso. Ora, ciascuno dei cinque triangoli in cui si può suddividere il pentagono, con base un lato e vertice opposto il centro del poligono, hanno come angolo al vertice il valore, in radianti, di $\pi/5$. E questo angolo è legato al rapporto aureo, $\varphi$, dalla relazione \[2 \cos \frac{\pi}{5} = \varphi\] Un'altra relazione che lega i due numeri è anche quella scoperta da Robert Everest \[\varphi = 1 - 2 \cos \frac{3 \pi}{5}\]
da The Golden Number
Iniziamo le procedure di chiusura del Carnevale, o, come si suol dire, veniamo al dolce. Innanzitutto ecco Marco Fulvio Barozzi, in arte Popinga, che avete letto sparso un po' qua e là nel corso del Carnevale e che ritrovate con Situazione politica e leggi della fisica, che raccoglie una satirica interpretazione politica delle leggi matematiche della fisica.
Mentre l'anno scorso si era concentrato sulle cifre del $\pi$, quest'anno Juhan van Juhan si butta sul calcolo di base elevato esponente, un post fatto di corsa, cui c'è anche un seguito, ancora sull'elevazione a potenza, che è poi una sorta di terzo capitolo di una mini saga, dove il secondo capitolo porta la firma del sottoscritto, schema per affrontare il calcolo di un esponenziale. Nell'attesa di capire se ci sarà un seguito alla serie a quattro mani scritta a distanza, chiudo il Carnevale con una nuova dimostrazione senza parole, la somma della doppia serie geometrica o di come far ubriacare un numero infinito di matematici!
Già nel lontano 200 a.C., gli scrittori sulle poesie in sanscrito si chiedevano in quanti modi sia possibile sistemare vari insiemi di sillabe lunghe o corte, i mattoni dei versi in sanscrito.
E con questa citazione di Steve Jones, non mi resta che salutarvi e darvi l'appuntamento all'edizione #84!

7 commenti:

  1. bel numero, riccherrimo e grassoccio! ;)

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  2. un Carnevale davvero da Pi Day epocale!!!!!!!!

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  3. Ottimissimo!
    Domani ho da leggere

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  4. Grazie Gianluigi, ottimo lavoro.

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  5. Grazie a tutti per i commenti e per i contributi!
    E scusate se rispondo così in ritardo ma sono stati due giorni (quasi completi) di Cartoomics un po' impegnativi!

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  6. Ricco carnevale!!! Ho messo il link sul mio Blog!!!!!!

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