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sabato 6 maggio 2017

Le grandi domande della vita: speciale Ridi Topolino

Puntata uscita con un giorno di ritardo: la lettura prima di tutto. E poi dovevo anche smettere di ridere!
Ritorna in edicola la mitica Ridi Topolino, con una raccolta speciale di alcune delle storie inedite uscite sul bimestrale e realizzate da Tito Faraci e Giuseppe Ferrario. Se Panini ci delizierà ancora una volta con questa rivista, solo il tempo ce lo dirà, ma è certo che è stata di ispirazione non solo per la carriera fumettistica di un tale di nome Sio, ma anche questa puntata de Le grandi domande della vita (e forse in qualche angolino del mio cervello anche della rubrica stessa!).
1+1

da Ridi Topolino #3
Come abiamo già visto, ci sono volute 300 e più pagine a Bertrand Russell e Alfred North Whitehead per dimostrare che $1+1=2$. Questo è un esercizio abbastanza complicato quando si vuole scendere nelle profondità del mare matematico, oppure ecessivamente banale quando, alla domanda, si fornisce la risposta, perché $2$ è definito come $1+1$. Una dimostrazione, che forse non avrà la completezza formale di quela di Russell, ma che è anche didatticamente utile, può tranquillamente utilizzare i postulati del matematico italiano Giuseppe Peano(1):
  1. $1$ è un numero appartenente a $N$
  2. Se $x$ è un numero in $N$, allora il suo sucessore $x'$ è in $N$
  3. Non esiste alcun $x$ tale che $x' =1$
  4. Se $x$ non è $1$, allora esiste un $y$ in $N$ tale che $y' = x$
  5. Se $S$ è un sotoinsieme di $N$, $1$ è in $S$, e l’implicazione $X \in S \Rightarrow x' \in S$ è vera, allora $S=N$
Allora si definisce ricorsivamente la somma:
Siano $a$, $b \in N$. Se $b=1$, allora, utilizzando i postulati 1 e 2, $a+b = a'$. Se $b$ è diverso da $1$, alora sia $c' = b$, con $c \in N$ (dal postulato 4), e per definizione $a+b=(a+c)'$.
llora devi definire $2 = 1'$.
Dalla sua definizione e dai postulati 1 e 2, segue che $2 \in N$.
Possiamo allora dimostrare che $1+1=2$:
Prendiamo la definizione della somma e applichiamola al caso in cui $a=b=1$: \[1+1=1'=2\]
Esiste una formulazione differente dei postulati di Peano che sostituisce l'$1$ con lo $0$ nei postulati 1, 3, 4, 5. Questo costringe a modificare la definizione della somma:
Siano $a$, $b \in N$. Se $b=0$, allora per definizione $a+b = a$. Se $b$ è diverso da $0$, allora sia $c' = b$, con $c \in N$, e per definizione $a+b=(a+c)'$.
Quindi si definiscono $1 = 0'$, e $2 = 1'$. La dimostrazione del teorema sulla somma delle due unità diventa leggermente differente:
Utilizzando la seconda parte della definizione della somma si ottiene: \[1+1=(1+0)'\] e utilizzando la prima parte nelle parentesi si ottiene: \[1+1=(1)'=1'=2\]
L’uovo o la gallina?

da Ridi Topolino #7
Uno dei più famosi paradossi è indubbiamente quello su chi sia nato prima, se l'uovo o la gallina. Sebbene dal punto di vista filosofico la questione risale ad Aristotele e Platone, una delle sue più note formulazioni è dovuta ad Ambrogio Teodosio Macrobio:
"È nato prima l’uovo o la gallina?" ... si ritiene, a ragione, che l'uovo sia stato creato per primo dalla natura. Infatti per primo ha origine ciò che è imperfetto e per giunta informe e attraverso qualità e tappe progressive prendono forma le aggiunte (intese come le caratteristiche dell'individuo adulto): dunque la natura cominciò a formare l'uccello da materia informe e produsse l'uovo, nel quale non vi è ancora la specie di animale: da questo a poco a poco ha origine una specie perfetta di uccello in seguito a un progressivo effetto di maturazione.
Il problema logico-matematico dietro il paradosso è, essenzialmente legato alla sua circolarità, non essendo ben chiaro chi sia la causa e chi l'effetto: in fondo senza un uovo non si può concepire una gallina e senza una gallina non si può pensare che nasca un uovo.
Da un punto di vista scientifico, la risposta alla domanda è l'uovo. Il modo più semplice di vederlo è con questa citazione di Neil deGrasse Tyson:
Chi è nato prima, l'uovo o la gallina? L'uovo, deposto da un uccello che non era una gallina
Pur nella sua apparente surrealità, la risposta è legata al fatto che il primo rettile a deporre un uovo era da considerarsi una via di mezzo tra un uccello vero e proprio e un rettile e al tempo stesso descrive molto bene i percorsi incredibili dell'evoluzione.
Chiacchierata con l'alieno

da Ridi Topolino #6
Nella nostra ricerca di vita intelligente nel resto dell’universo, uno dei progeti più interessanti è indubbiamente il SETI, che ha come obiettivo l'ascolto e lo studio dei segnali che ci provengono dal cosmo, nella speranza di trovarne qualcuno che presenti delle anomalie rispetto a quelli prodotti dagli oggetti che lo popolano (stelle, pianeti, ...).
Una volta ricevuto e riconosciuto il messaggio, al di là del tempo necessario per discutere con gli omologhi extraterrestri (la luce ha una velocità finita, nonostante quel che si dice in giro), il problema successivo è comprendere quello che ci viene trasmesso. Il problema è che, in una discussione di tal genere, non possediamo l'equivalente della stele di Rosetta: scoperta nel 1799 da Pierre-François Bouchard, capitano di Napoleone Bonaparte durante la campagna d'Egitto nei pressi della città egiziana di Rashid (latinizzata in Rosetta), è una stele in granodiorite contenente lo stesso testo scritto in geroglifico, demotico e greco. Quindi dal confronto tra queste lingue scritte si poté finalmente iniziare a tradurre il geroglifico.
Per poter provare a tradurre una lingua sconosciuta senza alcun confronto, le idee più interessanti sono l'uso delle tecniche crittografiche applicate allo studio di una lingua ignota e il ragionamento logico-matematico. Una specie intelligente, infatti, deve in qualche modo conoscere la matematica, anche abbastanza avanzata visto che siamo in cerca di alieni con un livello tecnologico almeno pari al nostro. Quindi si andranno a cercare segnali che presentino, ad esempio, sequenze matematiche riconoscibili come tali: ad esempio la lista dei numeri primi o le cifre del $pi$.
Nel caso, invece, di messaggi mandati dalla Terra, si è optato per due scelte: o l'invio di oggetti caratteristici del pianeta, come il disco d'oro con una raccolta di musica terrestre posto a bordo della sonda Voyager, o il messaggio di Arecibo, che sfrutta delle immagini stilizzate per raccontare qualcosa sul nostro aspetto, la nostra struttura e il nostro sistema matematico.
Potenze razionali
Torniamo ai quesiti degli utenti di quora, come questa abbastanza banale domanda sull'equivalenza tra le potenze $x^{(2/4)}$ e $x^{(1/2)}$. Poiché $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ è abbastanza ovvio rispondere che le due potenze danno l'identico risultato per ogni campo di numeri, dai naturali ai reali senza dimenticare i complessi. Eppure mi sono andato a chiedere cosa poteva succedere con le matrici, trovandomi innanzitutto di fronte al problema di determinare la radice quadrata di una matrice(2).
Il problema non è così banale come si può pensare, visto che in generale una matrice contiene numeri differenti in ognuno dei suoi elementi.
Data una matrice $A$, allora il primo passo per determinare la sua radice quadrata è diagonalizzarla (ovvero annullare tutti i suoi numeri tranne quelli sulla diagonale principale) utilizando un'opportuna matrice $P$: \[A = PDP^{-1}\] dove $D$ è la matrice diagonale di $A$. A questo punto la radice quadrata di $D$ la si ottiene facilmente applicando la radice quadrata a ciascuno degli elementi della diagonale, e quindi più in generale \[A^{\frac{1}{2}} = PD{\frac{1}{2}}P{-1}\] Utilizzando la formula risolutiva al caso $2 \times 2$ si può apprezzare come calcolare la radice quadrata di una matrice porta ad ottenere quattro matrici distinte come risultato. E l'unica cosa che ci garantisce che anche l'operazione $A^{\frac{2}{4}}$ coincide con $A^{\frac{1}{2}}$ è il fatto che le due potenze razionali coincidono(3).
Gli ever green
Cosa pensano gli stranieri sugli italiani?
  1. Proof that 1 + 1 = 2
  2. Levinger, B. (1980). The Square Root of a 2 × 2 Matrix Mathematics Magazine, 53 (4) DOI: 10.2307/2689616 (sci-hub)
  3. Vorrei fare una piccola osservazione: eseguire la radice quarta vuol dire calcolare la radice quadrata sulla radice quadrata, il che vuol dire che nel momento in cui elevo al quadrato torno indietro alla prima delle due radici quadrate effettuate. E poiché l'elevazione al quadrato è l'operazione inversa della radice quadrata, dei quattro risultati trovati con la radice quarta (o dei sedici, nel caso delle matrici), due coincideranno uno con l’altro una volta applicata l’elevazione a potenza.

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