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venerdì 28 aprile 2017

Le grandi domande della vita: fredde come le montagne

Nonostante la bella stagione si lasci ancora desiderare (almeno qui a Milano), iniziamo a concentrarci sui misteri della termodinamica delle stagioni:
Aria calda, aria fredda
Quando a scuola impariamo che l’aria calda è più leggera e quindi sale, mentre quella fredda scende, questo non sembra stridere con quanto, invece, abbiamo imparato dall’esperienza, ovvero che in montagna fa più fresco. La spiegazione che più spesso ci si da è quella dei venti in alta quota, ma di fatto non può essere considerata completamente sodisfacente. Una possibile risposta al quesito su come mai in montagna fa più fresco che in pianura o al mare può venire dall’equazione dei gas perfetti, nonostante l’aria non possa essere considerato un gas perfetto \[PV = nRT\] L’equazione, determinata da Émile Clapeyron nel 1834 a partire dai lavori di Robert Boyle, Jacques Charles e Amedeo Avogadro, pur risultando meno precisa di quella scoperta da Johannes Diderik van der Waals, è utile per capire qualitativamente l’effetto di abbassamento delle temperature con l’altitudine che sperimentiamo in estate.
Prendiamo un pallone aereostatico riempito di una data quantità di aria riscaldata da un fornelletto a gas. All’aumentare della temperatura, la pressione all’interno del pallone inizia ad aumentare, permettendogli così di alzarsi verso gli strati superiori dell’atmosfera. La pressione agli strati superiori, come ci insegna la legge di Stevino, è però sempre più bassa e così la temperatura esterna. Questa diminuzione di temperatura, a causa dello scambio di calore tra interno ed esterno del pallone, determinerebbe una diminuzione della temperatura e quindi della pressione dell’aria calda, che viene compensata da successive aperture del fornelletto che consentono al pallone di restare in aria.
Prendiamo ora una quantità di aria calda sul livello del mare libera di muoversi e senza alcuna costrizione da parte di palloni aereostatici. Essa si muoverà verso l’alto, strato dopo strato, incontrando aria più fredda e scambiando calore con questi strati, senza però ricevere dall’esterno alcun rifornimento energetico, come invece avviene nel pallone aereostatico. Questo scambio di calore, allora, genera la diminuzione di temperatura dell’aria calda man mano che sale verso la cima della montagna, dovuto essenzialmente agli urti con le molecole più lente di aria fredda. A causa di questi urti, la velocità media dell’aria calda diminuisce e dunque anche la sua temperatura, come evidente giocando un po’ con l’equazione di Boltzmann e la teoria cinetica dei gas: \[T = \frac{m v^2}{3 k}\] dove $m$ è la massa di una molecola d’aria, $v$ la velocità media di ciascuna di esse, $k$ la costante di Boltzmann.
Naturale o razionale?
Quale è il risultato di $8^{2n} \cdot 2^{n+1}=32$?
Se cercate una soluzione nei numeri interi o naturali, la risposta è che l’equazione precedente non ha soluzione, ma se vi interessano anche insiemi più grandi, come ad esempio i razionali, allora \[n = \frac{4}{7}\] Provare per credere!
Il muro del suono
Il numero di Mach, così chiamato dall’ingegnere aereonautico Jakob Ackeret in onore del fisico austriaco Ernst Mach, che compì i primi studi nel campo con una serie di esperimenti sui proiettili, indica la frazione di velocità del suono raggiunta da un oggetto in movimento nell’aria. Viene definito come il rapporto tra la velocità relativa dell’aereo nel mezzo e la velocità del suono.
Si possono definire varie zone: quella subsonica, ovvero a velocità inferiori a Mach 0.8 (meno dell’80% della velocità del suono); quella transonica, ovvero tra Mach 0.8 e Mach 1.2; quella supersonica, ovvero velocità superiori a Mach 1.2 e inferiori a Mach 5, e così via. In particolare la zona transonica può essere considerata come la zona di transizione tra velocità inferiori e superiori a Mach 1, la velocità del suono. Quando questa viene raggiunta e superata si sente distintamente il classico boom sonico, quello scoppio dovuto all’abbattimento del muro del suono.
Dividere vettori con vettori
Una curiosità matematica non banale è la divisione tra vettori. Il caso più semplice è quello di due vettori linearmente dipendenti: in questo caso il risultato sarà un numero reale. Nel caso di due vettori qualsiasi, si può ragionare a partire dalla seguente equazione: \[\vec v = A \vec w\] dove $\vec v$, $\vec w$ sono i due vettori da dividere, mentre la matrice $A$ è il risultato della divisione tra i due vettori. E tale matrice non è univoca, ma matrici differenti sono soluzioni dell’equazione.
Diverso il discorso è se si utilizza la divisione complessa e le regole dell’algebra dei quaternioni introdotti dal matematico britannico William Rowan Hamilton.
Hamilton fece la sua scoperta lavorando su un’estensione dei numeri complessi(1) iniziò a lavorare su una estensione dei numeri complessi. All’inizio tale estensione era di tre numeri, con i quali però riusciva a ottenere solo rotazioni nel piano; successivamente aggiunse il quarto, riuscendo così ad ottenere anche le rotazioni nello spazio. Volendo dare, però, un’interpretazione a questo risultato, Hamilton fornì, in Lectures on Quaternions del 1853, questa giustificazione:
Mi sembrava (e ancora mi sembra) naturale connettere questa unità extra-spaziale con il concetto di tempo.
In breve, un quaternione è una sorta di vettore in quattro dimensioni, che viene scritto (o definito) nel modo seguente: \[q = a + bi + cj + dk\] dove $a$, $b$, $c$, $d$ sono numeri reali, mentre $i$, $j$, $k$ sono le coordinate di uno spazio immaginario in tre dimensioni (un po’ l’equivalente di $x$, $y$, $z$ nello spazio reale). Non a caso $a$ è detta parte scalare, mentre $bi + cj + dk$ è detta parte vettoriale del quaternione. Le tre direzioni vettoriali immaginarie sono poi legate dalla seguente relazione: \[i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\] Quando, però, si inizia a giocare un po’ con i quaternioni, ecco spuntare alcune proprietà interessanti: per esempio è possibile costruire il gruppo delle rotazioni proprio a partire dalle unità quaternioniche (visto che ad ogni quaternione posso associare una rotazione nello spazio) o anche il così detto gruppo dei quaternioni, non commutativo, e di cui si può fornire una rappresentazione utilizzando sia matrici $2 \times 2$ (a valori complessi), sia matrici $4 \times 4$ (a valori reali)(2).
Curiosità finale: così come la teoria dei gruppi nasce dallo studio di Evariste Galois e Niels Abel del problema delle soluzioni dei polinomiali di grado superiore al 5.o, ecco che il gruppo dei quaternioni spunta, come mostrato nel 1981 da Richard Dean, dallo studio del polinomiale: \[x^8 - 72 x^6 + 180 x^4 - 144 x^2 + 36\]
Gli ever green
Ispirato dalla sezione dedicata al muro del suono, mi sembra giusto, per questa settimana, proporre un classico come i fatti cuoriosi relativi agli aereoplani!
  1. Numeri costituiti da due parti, una reale e una immaginaria, dove per numero immaginario si intende un multiplo della radice quadrata di $-1 = i^2$
  2. La breve sezione sui quaternioni può essere vista come una versione in italiano della terza parte di Alice adventures in Algebra: Wonderland solved e quindi come un completamento della Matematica fiabesca di Lucia Marino (parte 1, parte 2)

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