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venerdì 17 marzo 2017

Breve storia del pi greco - parte 5

Le grandi domande della vita si prende una pausa per lasciare spazio alla quinta puntata della storia del $\pi$, la serie di post che raccolgono in un unico luogo le notizie pi greche che inserisco come "box" all'interno dei Carnevali della Matematica del pi day. Quest'anno ho anche operato un piccolo rimontaggio, che spero possa essere apprezzato. Buona lettura!
Come abbiamo visto l'anno scorso, Ludolph van Ceulen nel 1596 arrivò prima a calcolare 20 cifre decimali, quindi 35 utilizzando il metodo dei poligoni, che venne utilizzato da altri matematici prima di decadere: ad esempio Willebrord Snellius nel 1621 calcolò 34 cifre, mentre l'astronomo austriaco Christoph Grienberger nel 1630 raggiunse la cifra record di 38 cifre utilizzando un poligono di 1040 lati: questo risultato costituisce il più accurato mai raggiunto utilizzando il metodo dei poligoni.
A soppiantare tale metodo arrivarono le serie infinite: il primo a utilizzarle in Europa fu il matematico francese François Viète nel 1593 \[\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots\] cui seguì nel 1655 John Wallis \[\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\] La matematica europea, però, era arrivata a questo metodo solo dopo la matematica indiana, per quanto indipendentemente. In India, infatti, si trovano testimonianze di primi approcci di questo genere tra il 1400 e il 1500. La prima serie infinita utilizzata per calcolare $\pi$ si trova, infatti, sulle pagine del Tantrasamgraha (l'etteralmente "compilazione di sistemi") dell'astronomo indiano Nilakantha Somayaji, all'incirca 1500-1501. La serie, presentata senza alcuna dimostrazione (successivamente pubblicata nello Yuktibhāṣā, 1530 circa), era attribuita da Nilakantha al matematico Madhava of Sangamagrama, vissuto tra il 1350 e il 1425 circa. A quanto pare Madhava scoprì diverse serie infinite, incluse molte che contengono il seno, il coseno e la tangente. Il matematico indiano utilizzò tali serie per arrivare fino a 11 cifre intorno al 1400, valore che venne migliorato intorno al 1430 dal matematico persiano Jamshīd al-Kāshī grazie all'impiego del metodo dei poligoni.

Heart of the City di Mark Tatulli
Nel 1644 il matematico Pietro Mengoli propose il così detto problema di Basilea, che chiedeva la soluzione esatta della somma dei reciproci al quadrato di tutti i numeri naturali: \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots \] La soluzione al problema arrivò nel 1735 grazie a Leonard Euler, all'epoca all'inizio della sua brillante carriera di risolutore di problemi. Il matematico svizzero dimostrò che la somma esatta della serie è $\pi^2/6$.
La dimostrazione di Eulero, pubblicata nella sua versione definitiva nel 1741, risulta particolarmente interessante, visto il punto di partenza: supporre di poter applicare le regole dei polinomi finiti anche a quelli infiniti.
Partiamo con lo sviluppo in serie di Taylor per la funzione seno in $0$: \[\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\] Dividendo per $x$ entrambi i termini, si ottiene: \[\frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots\] le cui radici sono $\pi$, $-\pi$, $2\pi$, $-2\pi$, $3\pi$, $-3\pi$, $\ldots$. Cambiando in questo modo la variabile, ovvero $z=x^2$, il polinomio di cui sopra diventa: \[\frac{\sin(\sqrt{z})}{\sqrt{z}} = 1 - \frac{z}{3!} + \frac{z^2}{5!} - \frac{z^3}{7!} + \cdots\] le cui radici sono $\pi^2$, $4\pi^2$, $9\pi^2$, $\ldots$.
Ora, dato un polinomio $a_n x^n+\ldots +a_3 x^3+a_2 x^2+ bx +1$, per le formule di Viète, abbiamo che la somma dei reciproci delle sue radici ha come risultato $-b$. Applicando questo risultato dei polinomi finiti al polinomio infinito in $z$ di cui sopra, si ottiene: \[\frac{1}{3!} = \frac{1}{6} = \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \frac{1}{16\pi^2} + \cdots\] da cui: \[\frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\] I più attenti di voi avranno sicuramente notato come la serie di Mengoli sia legata alla zeta di Riemann, definita come \[\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\] E' semplice, quindi, vedere che $\zeta(2)$ coincide con la serie di Mengoli: calcolare una o l'altra diventa, quindi, assolutamente equivalente. Tra l'altro nel 1982 apparve sulla rivista Eureka una dimostrazione rigorosa del risultato di Eulero a firma di John Scholes sebbene sembra che tale dimostrazione circolasse già a fine anni sessanta tra i corridoi di Cambridge. Il metodo di esaustione utilizzato da Archimede per ottenere una delle più precise approssimazioni di $\pi$ dell'antichità, per quanto ormai abbandonato nella ricerca delle sue cifre, può essere utile per realizzare delle unità didattiche che permettano di vedere le applicazioni della matematica alla vita di tutti i giorni.
Un buon approccio è quello di combinare l'attività pratica con l'approfondimento storico, spingendo gli studenti stessi a trovare informazioni più dettagliate su Archimede e il suo metodo.
Il passo successivo è quello di applicare il metodo, misurando realmente e con il righello i poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza. Ognuna di queste figure viene fatta disegnare dagli stessi studenti. Partendo dalla figura di partenza dell'esagono, si va successivamente a raddoppiare il numero di lati per due volte, ottenendo in totale tre misure per il $\pi$.
L'attività (pdf), proposta da Alessandra King ai suoi studenti (presumibilmente tra il 2012 e il 2013), presenta almeno tre vantaggi: mostrare la necessità di essere quanto più precisi nella realizzazione dei disegni; far sperimentare con mano il concetto dell'errore di misura sperimentale; permettere di approcciarsi in maniera pratica al concetto astratto di limite.

Frazz di Jef Mallett
Una domana doveva pur esserci, anche se la serie è momentaneament a riposo. Ed eccola qua: qual'è il risultato dell'operazione $4^\pi = \pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}$? In effetti la versione originale del quesito si chiede se il risultato di tale operazione è un intero, ma ai fini della risposta non cambia nulla.
Iniziamo dalla banale osservazione che tale operazione è ancora inaccessibile per qualunque computer, sia per via del fatto che non si possono conoscere tutte le cifre di $\pi$ (ma ciò non ha mai fermato i matematici dei numeri!), sia perché è comunque un'operazione piuttosto lunga da realizzare, almeno con tutti gli esponenziali presenti. Si può, però, provare a ottenere un'idea dell'ordine di grandezza del risultato.
Partiamo, dunque, dall'equazione \[x = \pi^{\pi^{\pi^{\pi}}}\] Se proviamo a valutarla utilizzando wolframalpha otteniamo \[10^{10^{17.82364533941695}}\] che possiamo provare a rendere un po' più comprensibile nella sua immensità se applichiamo il logaritmo in base dieci \[\lg x = \pi \lg \pi^{\pi^{\pi}}\] In questo caso l'esponente all'interno del logaritmo a destra dell'uguale da, sempre con wolframalpha, come risultato \[1.34 \cdot 10^{18}\] e questo sarà, all'incirca, l'esponente del primo $\pi$ della fila.

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