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venerdì 10 febbraio 2017

Le grandi domande della vita: Il capello di Hilbert


David Hilbert secondo Tuono Petinato
Matematica protagonista per questa nuova puntata della serie più pretenziosa del web! Si inizia con la matematica delle equaioni diofantee, in particolare sulle differenze tra due problemi, uno particolarmente noto e uno meno, ma entrambi, oggi, risolti (o qualcosa del genere!):
Le differenze tra il 10.mo problema di Hilbert e il teorema di Fermat
Ovviamente per teorema di Fermat si intende quello, ormai venutovi a noia, scritto sui margini di un foglio del volume di Diofanto dall'ineffabile Pierre de Fermat. Il teorema, ripetendolo alla noia, afferma che non esiste alcuna soluzione dell'equazione diofantea: \[a^n + b^n = c^n\] per $n$ più grandi di 2.
Quando Hilbert propose la sua lista di 23 problemi nel grande congresso di matematici tenutosi a Parigi nel 1900, il decimo problema recitava, più o meno, così:
Data un'equazione diofantea con un numero ignoto di quantità e con coeffienti numerici razionali: ideare un procedimento secondo cui è possibile determinare in un numero finito di operazioni se l'equazione è risolubile negli interi razionali.
Il problema, per quanto connesso con il teorema di Fermat (il teorema si occuopa di un'equazione diofantea), ne è anche al tempo steso disgiunto, come vedremo. L'ovvia speranza di Hilbert era che determinando un tale algoritmo, si guadagnassero gli strumenti per risolvere il teorema proposto da Fermat (ci tengo a sottolineare che tale speranza non era esplicitamente espressa dal matematico tedesco).
La strada del decimo problema, però, si è rivelata poco utile nell'ottica del teorema: già nel 1944 Emil Leon Post affermò che questo era un problema insolubile.
La strada per la dimostrazione definitiva di questa insolubilità passa per il lavoro di vari matematici, iniziando da Julia Robinson, che nel 1950 scoprì l'ipotesi che porta il suo nome e la cui dimostrazione avrebbe implicato che l'operazione di esponente è diofantea, ovvero esiste un insieme di triplette $(a, \, b, \, c)$ di numeri naturali tali che $a = b^c$.
Nel decennio che va dal 1959 al 1969 allo studio degli insiem diofantei esponnziali si aggiunsero anche Martin Davis e Hilary Putnam che utilizzarono l'ipotesi della Robinson per dimostrare l'insolubilità del 10.mo problema di Hilbert. L'ultimo tasello del avoro era dunque una dimostrazione convincente dell'ipotesi del 1950, che arrivò nel 1970 grazie a Yuri Matiyasevich che, utilizzando un risultato precedente di Nikolai Vorob'ev sui numeri di Fibonacci, dimostrò che un particolare insieme costituito proprio da questi numeri è diofanteo con sviluppo esponenziale, completando così sia la dimostrazione dell'ipotesi della Robinson sia del'insolubilità del 10.mo problema.
I problemi gravitazionali della Morte Nera
Breve digressione fantascientifca con un inserto che si potrebe anche definire come la scienza di Star Wars. L'inserto è breve, tranquilli. La domanda è semplice: come è possibile che la Morte Nera non collassi sotto l'azione della sua stessa gravità?
La versione breve è altrettanto semplice: non è abbastanza massiva.
La Morte Nera è la famosa astronave-pianeta costruia dall'Impero nella trilogia originale di Guerre Stellari. Essa viaggia nello spazio per ortae tra gli altri pianeti abitati le delize della dominazione imperiale basata sul lato oscuro della forza. La domanda, però, resterebbe di un puro interesse fantascientifico, un tenativo abbastanza superficiale di startrekkizare la concorrente cinematografica della famosa serie televisiva, ma per dare maggiore profondità al discorso, abbineri anche la risposta di Valentin Ghincolov alla domanda se sia possibile costruire un'astronave più grande della Terra. Il punto, in effetti, non è tanto nella reperibilità del materiale necessario (l'astronave, fondamentalmente, è una sfera cava) o la scelta dei siti di costruzione (sulla Terra) e di assemblaggio (nello spazio) dei componenti, quanto squisitamente di costi.
Il buco nero più grande
Per rispondere alla domanda sul buco nero più grande tra quelli finora scoperti, ci viene in aiuto un'apposita lista su en.wiki, che indica in S5 0014+81 il primo della lista. Tale primato era stato meso in discussione, almeno stando ai giornali, da SDSS J102325.31+514251.0, scoperto nel 2015.

Il quasar S5 0014+81, foto di Eduard von Bergen e Pierre Schmid
L'arte dell'inversione
Se $f (2x-1) = x$, allora $f (2) = 3/2$.
Il conto è presto fatto: se $f (2x-1) = x$, allora per trovare $x$ basta porre $2x-1 = 2$, da cui la risposta fornita.
Gli evergreen
Le principali idee sbagliate sulla matematica.

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