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martedì 10 gennaio 2017

Le simmetrie di una catena di Ising

Scavando nel cassetto delle bozze del blog mi sono ritrovato con l'inizio di un post che sarebbe stato perfetto in abbinato al premio Nobel per la fisica 2016, assegnato alle ricerche sulle transizioni di fase quantistiche (giusto per semplificare). Recupero ora quella bozza anticipandovi che mescolerò la teoria dei gruppi con le transizioni di fase esaminando il presunto ponte tra le catene di Ising e il gruppo $E_8$.
Iniziamo con un...
Breve ripasso sulla teoria dei gruppi
Un gruppo, in matematica, è un insieme che, dotato di un’operazione di composizione, possiede le seguenti proprietà:
  1. proprietà associativa;
  2. esistenza dell'elemento neutro;
  3. esistenza dell'inverso.
Se l'operazione definita sull'insieme possiede anche la proprietà commutativa, allora il gruppo si dirà abeliano.
Un esempio di gruppo del tipo che si utilizza in fisica è l'insieme delle simetrie di un poligono (o più in generale una data figura geometrica, anche in tre o più dimensioni), ovvero di quelle trasformazioni che lasciano il poligono invariato. Questi gruppi sono detti gruppi di simmetria e rivestono una particolare importanza nella fisica moderna, poiché è proprio dallo studio delle simmetrie di un dato sistema fisico che si possono (o comunque potrebbero) ricavare le sue proprietà fondamentali.
I gruppi più utilizzati per lo studio delle simmetrie in fisica sono, però, i gruppi di Lie, ovvero gruppi in cui le operazioni di composizione e di inversione sono differenziabili, ovvero è possibile (semplificando) derivarle (calcolarne l'incremento in funzione della variabile). Il gruppo $E_8$ è esattamente un gruppo di Lie, e quindi non sembrerebbe così incredibile, nonostante la sua complessità matematica, ritrovarlo in un sistema fisico. Ciò che evidentemente è stupefacente è ritrovarlo in un sistema praticamente monodimensionale come una catenza di Ising. Prima, però, vediamo cos'è il modello cui il gruppo $E_8$ dovrebbe essere in qualche modo connesso.
Il modello di Ising

Modell di Ising in due dimensioni
Inventato nel 1920 da Wilhelm Lenz, il modello venne assegnato da questi al suo studente Ernst Ising che lo risolse completamente nel caso a una dimensione per la sua tesi del 1924. La struttura del modello è abbastanza semplice: una catena monodimensionale di spin descritta dalla seguente hamiltoniana: \[H = - \sum_{i<>j} J_{ij} \sigma_i \sigma_j - \sum_j h_j \sigma_j\] dove $\sigma_{i, j}$ sono gli spin dei siti $i$, $j$, $J_{ij}$ è un numero reale positivo che misura l'interazione tra i primi vicini, e $h_j$ è una perturbazione esterna che nel caso più generale possibile la si fa variare sito per sito. Il modello serviva per comprendere il comportamento di una catena di spin, che ricordo possono assumere due valori, su e giù.
Come scritto, Ising risolse il caso monodimensionale in maniera completa, riscontrando l'assenza di fasi di transizione(1): studiando la funzione di correlazione tra due siti distinti, dipendente dal paramentro $\beta$, si osserva che il sistema continua a rimanere disordinato qualunque sia il valore assunto dal parametro. Ciò spinse Ising a credere che il modello non avrebbe esibito alcuna transizione di fase nemmeno alle dimensioni superiori.
In realtà, come mostrato da Rudolf Peierls nel 1936 utilizzando argomentazioni matematiche, in due dimensioni per $\beta$ grandi il modello di Ising è ordinato come un ferromagnete(2). La sua risoluzione analitica in due dimensioni, invece, arriva nel 1944 grazie a Lars Onsager(3). Lo stesso Onsager nel 1949 aveva annunciato di aver determinato insieme con Bruria Kaufman una formula per la magnetizzazione spontanea del reticolo quadrato di Ising, ma non pubblicò il risultato(4). Questa venne successivamente scoperta e pubblicata nel 1952 da Chen-Ning Franklin Yang(5).
Invece nel caso monodimensionale, quando $J_{ij} \sim |i-j|^{-\alpha}$, con $\alpha$ positivo, allora una catena di Ising ferromagnetica presenta delle transizioni di fase come quella a basse temperature mostrata da Freeman Dyson(6) nel 1969 (con $\alpha$ che varia tra 1 e 2, estremi esclusi).
La relazione tra un gruppo e una catena
Un sistema che può essere utilizzato per lo studio sperimentale di un ferromagnete monodimensionale di Ising è $CoNb^2O_6$(7) (cobalto niobato), che realizza una catena come nella figura sottostante, che pur non essendo completamente monodimensionale, viene considerata tale con una buona approssimazione.

Catena di cobalto niobato
Il primo obiettivo dei ricercatori è stato mostrare che la catena studiata, sostanzialmente un sistema tridimensionale, era modellizabie da un'hamiltoniana monodimensionale come quella di Ising(8) in assenza di un campo magnetico esterno(7, 9).
A questa prima fase, ne è seguita una seconda in cui gli sperimentatori hanno introdotto un campo magnetico esterno, portando il sistema vicino al punto critico in una situazione precedentemente studiata solo dal punto di vista teorico da Alexander Zamolodchikov(10). Il fisico teorico russo aveva, infatti, studiato un sistema simile al modello monodimensionale di Ising vicino al punto critico e perturbato da un piccolo campo magnetico diretto lungo l'asse di spin principale(9). Il suo modello, dal punto di vista analitico, coincide con l'equazione nella nota (8), ma mentre per gli sperimentatori(7) $g_z$ è fisso con $g_x$ piccolo, per il teorico russo è l'esatto contrario(9).
Ad ogni buon conto Zamolodchikov prevede l'esistenza di 8 oscillazioni, o particelle, con la loro corrispondente massa, le prime due delle quali sembra vengano osservate sperimentalmente(7). Al di là di questo risultato, che andrebbe verificato e quindi completato, la vera questione è se l'osservazione di queste particelle coincide con l'osservazione sperimentale del gruppo $E_8$.
Secondo il gruppo di ricercatori, in prossimità della transizione quantistica, lo spettro del sistema rivela la presenza di 8 picchi che coinciderebbero con gli 8 generatori del gruppo $E8$. D’altra parte esistono alcune obiezioni contro questa conclusione, alcune di ordine sperimentale, legate alla necessità di avere una misura indipendente e, soprattutto, una maggiore quantità di dati, mentre l’ultima è di tipo matematico.
Le simulazioni numeriche presenti negli articoli che esaminano il sistema di Zamolodchikov(10, 11) propongono delle previsioni che non coinvolgono il gruppo $E_8$. D'altra parte è possibile semplificare la teoria del russo introducendo il gruppo nel suo modello. Quindi si potrebbe concludere che l'esperimento di Coldea et al.(7) ha fornito una prima evidenza della teoria di Zamolodchikov e quindi per un sistema fisico che presenta una simmetria $E_8$.
  1. Ising, E. (1925). Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus Zeitschrift für Physik, 31 (1), 253-258 DOI: 10.1007/BF02980577 (sci-hub)
  2. Peierls, R., & Born, M. (2008). On Ising's model of ferromagnetism Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 32 (03) DOI: 10.1017/S0305004100019174 (sci-hub)
  3. Onsager, L. (1944). Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition Physical Review, 65 (3-4), 117-149 DOI: 10.1103/PhysRev.65.117 (sci-hub)
  4. Baxter, R. (2011). Onsager and Kaufman’s Calculation of the Spontaneous Magnetization of the Ising Model Journal of Statistical Physics, 145 (3), 518-548 DOI: 10.1007/s10955-011-0213-z (arXiv)
  5. Yang, C. (1952). The Spontaneous Magnetization of a Two-Dimensional Ising Model Physical Review, 85 (5), 808-816 DOI: 10.1103/PhysRev.85.808 (sci-hub)
  6. Dyson, F. (1969). Existence of a phase-transition in a one-dimensional Ising ferromagnet Communications in Mathematical Physics, 12 (2), 91-107 DOI: 10.1007/BF01645907 (sci-hub)
  7. Coldea, R., Tennant, D., Wheeler, E., Wawrzynska, E., Prabhakaran, D., Telling, M., Habicht, K., Smeibidl, P., & Kiefer, K. (2010). Quantum Criticality in an Ising Chain: Experimental Evidence for Emergent E8 Symmetry Science, 327 (5962), 177-180 DOI: 10.1126/science.1180085 (arXiv, pdf)
  8. L'hamiltoniana in questione è del tipo \[-K \sum_j S_j^z S_{j+1}^z + g_x S_j^x + g_z S_j^z\] dove $S^x$, $S^z$ sono due dele tre matrici di Pauli, e $K$, $g_x$, $g_z$ numeri reali legati allo stato ferromagnetico (o antiferromagnetico) della catena.
  9. David Borthwick, & Skip Garibaldi (2011). Did a 1-dimensional magnet detect a 248-dimensional Lie algebra? Notices of the American Mathematical Society, 58, 1055-1066 arXiv: 1012.5407v3 (via MathOverflow)
  10. Zamolodchikov, A. (1989). Integrals of motion and S-matrix of the (scaled) $T = T_c$ Ising model with magnetic field International Journal of Modern Physics A, 04 (16), 4235-4248 DOI: 10.1142/S0217751X8900176X (sci-hub)
  11. Delfino, G., & Mussardo, G. (1995). The spin-spin correlation function in the two-dimensional Ising model in a magnetic field at $T = T_c$ Nuclear Physics B, 455 (3), 724-758 DOI: 10.1016/0550-3213(95)00464-4 (arXiv)

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