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venerdì 30 marzo 2012

La classificazione dei gruppi finiti semplici

Un gruppo è una collezione di elementi che obbediscono a certe regole. Per ogni gruppo possiamo costruire un certo numero di sottogruppi, in particolare i sottogruppi normali. Dato un gruppo $G$, un sottogruppo $K$ è normale se, per ogni elemento $g \in G$ \[gK = Kg\] o, banalizzando, se ogni elemento $g \in G$ commuta con ogni elemento $k \in K$.
Ora, se l'insieme dei sottogruppo normali di un dato gruppo non banale $G$ è costituito solo dal gruppo banale e dal gruppo stesso, allora $G$ è un gruppo semplice. E se il gruppo $G$ è finito (il numero degli elementi del gruppo è finito), allora $G$ è un gruppo finito semplice.
Con l'obiettivo di classificare i gruppi finiti semplici, Daniel Gorenstein, Ron Solomon e Richard Lyons anno iniziato negli anni Ottanta del XX secolo un programma per produrre una nuova e completa dimostrazione del teorema di classificazione(1):
Ogni gruppo finito semplice è isomorfo a uno dei seguenti gruppi:
  • Un gruppo ciclico con ordine primo;
  • Un gruppo alternante (o alterno) di grado almeno 5;
  • Un gruppo semplice di Lie, inclusi
    • i gruppi di Lie classici, ovvero i gruppo lineari speciali, quelli unitari, simplettici, e quelli delle trasformazioni ortogonali su un campo finito;
    • i gruppo eccezionali e i twisted groups, sempre di Lie (incluso il gruppo di Tits che non è propriamente un gruppo di Lie).
  • I 26 gruppi semplici sporadici.
Il lavoro è stato concluso da Michael Aschbacher e Stephen Smith nel 2004: l'ultimo capitolo della dimostrazione è stato descritto in un articolo non troppo tecnico da Aschbacher(6) e quindi in due monografie matematiche(7). La classificazione completa è stata infine pubblicata nel 2011 in The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type di Aschbacher, Lyons, Smith, e Solomon (Mathematical Surveys and Monographs, vol. 172). Questo lavoro ha vinto il Leroy P. Steele Prize come migliore esposizione matematica in questo 2012(9):
In questo articolo, gli autori, che hanno svolto un lavoro fondamentale per la classificazione dei gruppi finiti semplici, offrono al pubblico matematico un'esposizione articolata e leggibile della classificazione delle caratteristiche dei gruppi di tipo 2.
Una interessante ma non completa storia del teorema di classificazione si trova nell'articolo di Ron Solomon On Finite Simple Groups and Their Classification(4). Leggendo l'articolo possiamo vedere che già nel 1995 la lista di tutti i gruppi finiti semplici era completata, ma non c'era ancora una realmente completa dimostrazione che tutti i gruppi nella lista fossero gruppi finiti semplici (o che d'altra parte non ci fosse un qualche gruppo non compreso nella lista ma con le stesse caratteristiche e non isomorfo ai componenti del club). Così la dimostrazione di Aschbacher e Smith era necessaria per completare la classificazione e l'atlante delle rappresentazioni dei gruppi finiti.
Nel 2001, poi, Solomon, all'alba della conclusione del lavoro, scrisse una breve storia della classificazione dei gruppi finiti semplici(5), e nella sezione dedicata alle applicazioni e sviluppi
Thus the classification of all finite groups is completely infeasible. Nevertheless experience shows that most of the fionite groups which occur "in nature" - in the broad sense not simply of chemistry and physics, but of number theory, topology, combinatorics, etc. - are "close" either to simple groups(2) or to groups such as dihedral groups, Heisenberg groups, etc., which arise naturally in the study of simple groups. And so both the methodologies and the database of information generated in the course of the Classification Project remain of vital importance to the resolution of questions arising in other disciplines.
La storia in effetti potrebbe influenzare altrediscipline, come ad esempio la fisica. Infatti uno dei gruppi finiti semplici è il gruppo E8, che abbiamo già esaminato ne L'universo in fiore.
Un'altraconnessione è citata nel primo lavoro di Solomon riguardo alcuni gruppi semplici sporadici(1): i gruppi Monster. Seguendo Solomon, i gruppi Monster sono connessi con la teoria quantistica dei campi, e così ho provato a fare una ricerca riguardo l'asserzione, scovando Our Mathematical Universe: I. How the Monster Group Dictates All of Physics di Franklin Potter(8). Nell'articolo Potter prova a collegare il Monster group con il Modello Standard. L'idea, di principio, non è sbagliata: il Modello Standard ci presenta un universo costituito da alcune famiglie finite di fermioni, leptoni e bosoni, un numero finito di elementi, come i gruppi finiti. Inoltre le tre famiglie sono costituite da particelle elementari, o in altre parole: particelle fatte da se stesse, un po' come i gruppi semplici. Così dovrebbe essere possibile collegare il Modello Standard con alcuni gruppi finiti semplici, come uno dei gruppi Monster.
Non saprei dire se la strada proposta da Potterè corretta o meno (ho letto velocemente il suo articolo), ma egli predice l'esistenza di due nuovi quark, uno a 80 GeV e uno a 2600 GeV, e questo è un ottimo strumento per dire se il Monster Group e il Modello Standard sono in qualche modo connessi.
Potter invece sembra certo che la sua ipotesi è vera:
In this brief article I have outlined specific connections between the mathematics of the Monster Group and fundamental physics particles and rules. These connections support the three hypotheses ERH, MUH, and CUH(3), so I conclude that the Universe is mathematical and that we live in the only possible one. I await the empirical confirmation by the discovery of the 4th quark family, particularly the b' quark at about 80 GeV. Hopefully, the wait will not be long.

Approfondimenti sui gruppi finiti semplici:
Philosophy of the Classification of Finite Simple Groups
An enormous theorem: the classification of finite simple groups by Richard Elwes
The most important people in calssification program was Daniel Gorenstein. Ho was a leader in the group and you can read a bibliography about his work in classification in the two Solomon's papers that I used for this post(4, 5)

(1) Riguardo questi scrive:
Like the elementary particles of physics, sporadic simple groups were often predicted several years before their existence was confirmed. For example, the Monster was predicted in 1973, but not constructed until 1980.
(2) In questo senso possiamo intendere i gruppi finiti semplici come gli atomi della teoria dei gruppi.
(3) ERH (External Reality Hypothesis): esiste una realtà fisica esterna completamente indipendente dagli umani; MUH (Mathematical Universe Hypothesis): la nostra realtà fisica esterna è una struttura matematica; CUH (Computable Universe Hypothesis):la struttura matematica che è la nostra realtà fisica esterna è definita da funzioni calcolabili.
(4) Ronald Solomon (1995). On Finite Simple Groups and Their Classification. Notices of the American Mathematical Society 42 (02) (pdf)
(5) Solomon, R. (2001). A brief history of the classification of the finite simple groups Bulletin of the American Mathematical Society, 38 (03), 315-353 DOI: 10.1090/S0273-0979-01-00909-0
(6) Michael Aschbacher (2004). The Status of the Classification of the Finite Simple Groups. Notices of the American Mathematical Society 51 (07) (pdf)
(7) Michael Aschbacher, Stephen Smith (2004). The Classification of Quasithin Groups: I. Structure of Strongly Quasithin $\mathcal{K}$-groups and II. Main Theorems: The Classification of Simple QTKE-groups. Mathematical Surveys and Monographs, vol.111-112
(8) Franklin Potter (2011) .Our Mathematical Universe: I. How the Monster Group Dictates All of Physics. Progress in Physics vol.4 (pdf)
(9) Kehoe, E. (2012). 2012 Steele Prizes Notices of the American Mathematical Society, 59 (04) DOI: 10.1090/noti826

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