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venerdì 21 aprile 2017

Le grandi domande della vita: Heisenberg

Dopo una lunga attesa ritornano Le grandi domande della vita. In questa puntata la parte del leone la fa il principio di indeterminazione di Heisenberg. Non mancherà la teoria dei numeri e un paio di curiosità che spero possano interessarvi!
Indeterminazione

da I trent'anni che sconvolsero la fisica di George Gamow
La domanda sulla correttezza o meno del principio di indeterminazione di Heisenberg per i fisici risulta assurda: il principio di indeterminazione è corretto. Ed è anche uno degli elementi fondamentali della meccanica quantistica: l'algebra dei commutatori, infatti, implica l'esistenza di principi di indeterminazione per ogni coppia di operatori che non commutano.
In questo caso gli operatori sono gli oggetti matematici utilizzati per rappresentare le grandezze fisiche. A differenza dei numeri usuali, per gli operatori la proprietà di commutazione, ovvero $a \cdot b = b \cdot a$, non vale in generale. Quindi quando due operatori non commutano, è possibile scrivere un principio di indeterminazione, che dal punto di vista della fisica implica che esiste un limite nella precisione con cui si possono eseguire misure contemporanee delle due grandezze.
Nel caso del principio di indeterminazione classico introdotto nel 1927 da Werner Heisenberg(1) questo implica che se vogliamo misurare la posizione di una data particella con la stessa precisione con cui misuriamo la quantità di moto, le due misure devono avvenire in momenti differenti.
In realtà questo fatto non dovrebbe essere nemmeno così stupefacente: le due grandezze sono correlate e l'errore sulla posizione può essere ricavato a partire dall'errore sulla quantità di moto e viceversa; d’altra parte è molto più semplice, classicamente parlando, una misura diretta della posizione rispetto a una della quantità di moto, che è una grandezza derivata della prima(2). Quindi l'errore sulla posizione influenza quello sulla quantità di moto.

domenica 16 aprile 2017

Una nuova sfida

Come Sandro, anche io negli ultimi tempi ho abbandonato un po' la scrittura e l'aggiornamento dei blog. I motivi sono disparati: dalle corse scolastiche alla preparazione per affrontare una possibile nuova sfida, che si è concretizzata esattamente all'inizio della settimana pasquale. Mancano ancora un paio di passi burocratici per considerare il nuovo lavoro ufficiale a tutti gli effetti, ma direi che l'approvazione della graduatoria finale è già un buon punto fermo e solido.
Ritornando al post su Quantizzando, direi di essermi ritrovato se non nei dettagli almeno nell'atmosfera, e d'altra parte con 10 anni in più sulle spalle non poteva essere diversamente. In particolare, avendo trasportato la carretta nelle scuole per diverso tempo non posso che essere d'accordo con la necessità di dover, in qualche modo, migliorare già nelle scuole la formazione scientifica degli studenti. A mio giudizio, in questo momento particolare almeno, le capacità di Edu.Inaf e astroEDU di incidere nella scuola possono essere di gran lunga superiori rispetto alle recenti riforme scolastiche, che nella sostanza consegnano agli insegnanti maggiori carichi burocratici e armi spesso spuntate per incidere a meno di un carisma personale il cui successo spesso dipende dal tipo di scuola e dagli studenti con cui si ha quotidianamente esperienza.
So già che la sfida che mi si trova davanti sarà dura, difficile e impegnativa, ma, avendo già affrontato qualcosa di analogo per le Olimpiadi dell'Astronomia, sono abbastanza certo che mi divertirò parecchio.
Per cui restate sintonizati visto che, oltre al normale flusso di post, potrei inserire qua e là qualche aggiornamento più legato al lavoro istituzionale!

martedì 21 marzo 2017

Primavera

Inizia la primavera...
Cadono fiori come pioggia nel cielo.
Mi passi un'altra birra?
di Will Ferguson da Autostop con Buddha, trad.Claudio Silipigni

venerdì 17 marzo 2017

Breve storia del pi greco - parte 5

Le grandi domande della vita si prende una pausa per lasciare spazio alla quinta puntata della storia del $\pi$, la serie di post che raccolgono in un unico luogo le notizie pi greche che inserisco come "box" all'interno dei Carnevali della Matematica del pi day. Quest'anno ho anche operato un piccolo rimontaggio, che spero possa essere apprezzato. Buona lettura!
Come abbiamo visto l'anno scorso, Ludolph van Ceulen nel 1596 arrivò prima a calcolare 20 cifre decimali, quindi 35 utilizzando il metodo dei poligoni, che venne utilizzato da altri matematici prima di decadere: ad esempio Willebrord Snellius nel 1621 calcolò 34 cifre, mentre l'astronomo austriaco Christoph Grienberger nel 1630 raggiunse la cifra record di 38 cifre utilizzando un poligono di 1040 lati: questo risultato costituisce il più accurato mai raggiunto utilizzando il metodo dei poligoni.
A soppiantare tale metodo arrivarono le serie infinite: il primo a utilizzarle in Europa fu il matematico francese François Viète nel 1593 \[\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots\] cui seguì nel 1655 John Wallis \[\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\] La matematica europea, però, era arrivata a questo metodo solo dopo la matematica indiana, per quanto indipendentemente. In India, infatti, si trovano testimonianze di primi approcci di questo genere tra il 1400 e il 1500. La prima serie infinita utilizzata per calcolare $\pi$ si trova, infatti, sulle pagine del Tantrasamgraha (l'etteralmente "compilazione di sistemi") dell'astronomo indiano Nilakantha Somayaji, all'incirca 1500-1501. La serie, presentata senza alcuna dimostrazione (successivamente pubblicata nello Yuktibhāṣā, 1530 circa), era attribuita da Nilakantha al matematico Madhava of Sangamagrama, vissuto tra il 1350 e il 1425 circa. A quanto pare Madhava scoprì diverse serie infinite, incluse molte che contengono il seno, il coseno e la tangente. Il matematico indiano utilizzò tali serie per arrivare fino a 11 cifre intorno al 1400, valore che venne migliorato intorno al 1430 dal matematico persiano Jamshīd al-Kāshī grazie all'impiego del metodo dei poligoni.

martedì 14 marzo 2017

Carnevale della matematica #107

Mentre l'edizione dell'anno scorso non era un numero primo (il 95 è divisibile per 5, per esempio!), il 107 è il 28.mo numero primo della lista. Insieme con il prossimo, il 109, formano una coppia di primi gemelli e di conseguenza il 107 è anche un primo di Chen. Se poi aggiungiamo 2 alle altre due cifre del 107 otteniamo 127 e 307 entrambi primi, così come il 701, ovvero il 107 ribaltato! Inoltre mettendo 107 nella formula $2^p - 1$ al posto della $p$ si ottiene un numero primo di Mersenne. 107 è anche un numero primo sicuro, ovvero un numero della forma $2p +1$ con $p$ primo.
Altre curiosità sul 107:
Nel 1983 Allan Brady dimostrò che il massimo numero di passi che una macchina di Turing a quattro stati è in grado di fare su un nastro bianco prima di fermarsi è 107.
Non esiste alcun intero $N$ tale che $N!$ ha esattamente 107 zeri. Lo stesso lo si può dire anche per 3, 31 e 43 (tutti primi).
Modi di ottenere 107:
  1. $107 = 2 + 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 7 \cdot 11$
  2. $107 = (1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3) - 1$
Definito $A_n = 1!+3!+5!+...+(2n-1)!$, allora 107 è un divisore di $A_{53}$ e di tutti gli $A_n$ con $n \geq 53$.
I numeri di Lucas, così chiamati in onore del matematico francese Édouard Lucas, sono una sequenza molto simile a quella dei numeri di Fibonacci definita dalla seguente relazione: \[v_1 = 1, \; v_2 =3 \; v_{n+1} = v_n + v_{n+1}\] Molti numeri di Lucas non sono primi, ma "LuCaS" lo è in un senso un po' più... chimico! Se infatti sommiamo tra loro i numeri atomici di lutezio (LU), calcio (Ca) e zolfo (S) otteniamo... $71 + 20 + 16 = 107$!
Infine 107 è il più piccolo numero primo $p$ per cui la $p$-esima cifra di $\pi$ è uno zero: ed entriamo, così, nel tema dell'edizione, il pi day!

venerdì 10 marzo 2017

Le grandi domande della vita: edizione sprint

Con grandissimo ritardo rispetto al solito (le cose da fare sono tante, in questo periodo) e particolarmente breve e snella. Iniziamo con il pi greco (d'altra parte il pi day e il carnevale della matemtica associato si avvicnano!):
Il $\pi$ e i numeri interi
Esiste un numero che moltiplicato per $\pi$ fornisce un numero intero come risultato? La risposta più ovvia e breve è indubbiamente $0$, ma se oserviamo che non viene specificata la natura del numero che dovrebbe moltiplicare il pi greco, allora esistono un numero infinito di numeri della form $n / \pi$, con $n$ intero, che moltiplicati per $\pi$ forniscono come risultato un numero intero.
Annullare la gravità
Esiste una distanza per cui la gravità si annulla? Basandosi sulla formula, la distanza esiste: l'infinito. La risposta, oviamente, non è proprio soddisfacente, da un punto di vista comune. Sicuramente esistono situazioni a gravità zero, ovvero situazioni in cui si annullano (o si attenuano) gli effetti della gravità, ma più in generale sarebbe più corretto parlare di microgravità. D'altra parte si potrebbe eventualmente parlare di gravità nulla in quelle situazioni in cui i nostri strumenti non sono in grado di rilevare alcuna forza gravitazionale sufficientemente intensa da superare l'errore commesso per misurarla.

venerdì 3 marzo 2017

Le grandi domande della vita: C'era una volta...

Due i principali protagnisti di questa edizione: il tempo (che mi ha permesso di riciclare, con nuova impostazione, quanto avevo scritto per la recensione di OraMai di Tuono Pettinato) e il pi greco, inserito per l'avvicinarsi del pi day, ricorrenza che come ogni anno non mancheremo di festggiare tutti inseme!
L'oscuro mistero del tempo

Ilya Prigogine secondo Tuono Pettinato
Ben due domande sul tempo: una sulla sua linearità e l'altra sul fatto di essere una dimensione o qualcosa d'altro. Entrambe le domande sono due aspetti di quella più generale sulla natura del tempo.
Secondo Albert Einstein (che non ci abbandona mai in questa serie!), il tempo è
Quella cosa che si misura con l'orologio.
D'altra parte il Premio Nobel per la Chimica Ilya Prigogine propose le idee, forse inquietanti, di tempo termico e freccia del tempo, ovvero esiste una direzione che, una volta intrapresa, non può essere percorsa al contrario: il piatto che si rompe, non si ricompone; l'uomo che invecchia, non ringiovanisce; e così via. Questa definizione è fortemente legata all'entropia e viene descritta con grande leggerezza da Carlo Rovelli:
La caratteristica più saliente del tempo è che va avanti e non indietro, cioè la sua irreversibilità. È l'irreversibilità a caratterizzare ciò che chiamiamo tempo. I fenomeni "meccanici", cioè i fenomeni in cui non entra il calore, sono sempre reversibili. Cioè, se li filmate e li proiettate all'indietro vedrete fenomeni perfettamente realistici. Per esempio filmate un pendolo, oppure un sasso lanciato verso l'alto che sale e poi ridiscende, e guardate il film al contrario, vedrete ancora un ragionevolissimo pendolo, o un ragionevolissimo sasso che cale e poi ridiscende. Ah! direte voi, ma non è vero! Quando il sasso arriva a terra si ferma, se guardo il film vedo un sasso che salta da solo a partire dalla terra, e questo è impossibile. Esatto, e infatti quando il sasso arriva a terra si ferma, e dove va la sua energia? Va a scaldare la terra su cui è caduto! Si trasforma in un po' di calore. Nel preciso momento in cui si produce calore, avviene un fenomeno irreversibile: un fenomeno che chiaramente distingue il film diritto da quello rovescio, il passato dal futuro. È sempre il calore, in ultima analisi, a distinguere il passato dal futuro.
Dal punto di vista strettamente matematico il tempo è, in ogni caso, una delle quattro dimensioni geometriche dello spazio in cui siamo immersi, quindi è una dimensione come quelle spaziali, ma abbiamo bisogno di distinguerle attraverso una geometria non euclidea, che si è dimostrata più efficace per consentire alla fisica di descrivere il nostro universo.
Il modo con cui viviamo il tempo è, però, soggettivo, legato al modo con cui interagiamo con le condizioni esterne: con questa idea in testa Claudia Hammond ha ideato alcuni esperimenti per valutare la precisione del cosìddetto "orologio interno", usualmente precisissimo a meno di situazioni stressanti.
Quindi il tempo è una dimensione che però non siamo in grado di percorrere in entrambe le direzioni, essendo legato a fenomeni irreversibili, e lo sperimentiamo in termini soggettivi.
E la sua linearità? In termini matematici, questa è una proprietà di una relazione o di una funzione rappresentabile attraverso una linea dritta. E il tempo è lineare, come funzione della posizione e della velocità, solo nel moto rettilineo uniforme, mentre già in quello uniformemente accelerato il tempo è quadratico. Imagino, però, che il lineare sia inteso come sinonimo di sequenziale, ma a questo punto bisognerebbe chiedersi: è il tempo, che è una delle dimensioni dell'universo, ad essere sequenziale o sono gli eventi che in esso accadono a essere sequenziali? E secondo me è più corretto parlare di eventi sequenziali e non di tempo sequenziale. Ed è anche abbastanza ovvio che tutte queste domande sul tempo non ce le porremmo senza l'invecchiamento!

mercoledì 1 marzo 2017

Origini


Da The Cartoon History of the Universe vol.01 di Larry Gonick
Sin dagli albori, le grandi domande filosofiche sono sempre le stesse: "chi siamo? da dove veniamo? dove andiamo?" Oggi queste domande sono appannaggio della scienza, diventata erede della filosofia, seguendo il discorso di Werner Heisenberg in un famoso saggio.
In particolare le domande sulle origini e il nostro destino sono, in parte, appannaggio dell'astronomia, alla continua ricerca, in parte aiutata dalla fisica degli acceleratori di particelle, della verifica delle teorie sull'origine dell'universo e dei segni sperimentali che ne indichino lo sviluppo futuro.
A provare a raccontare i processi di formazione dell'universo, delle galassie, delle stelle, dei pianeti e della vita stessa, quindi delle nostre origini, ci pensano Neil deGrasse Tyson e Donald Goldsmith con Origini.
Il Sistema Solare
Il libro è strutturato in 5 parti, che esplorano le origini dell'universo a partire dal Big Bang fino alle teorie sulla formazione delle galassie, delle stelle e dei pianeti, storie abbastanza note e approfondite, inclusi gli ultimi sviluppi relativi a materia ed energia oscure.
Ad esempio, relativamente alla storia del nostro sistema solare, è interessante dare un'occhiata al "modello di Nizza" o alle varie ipotesi su come la Terra ha acquisito il suo satellite. Ad aggiungersi al già citato modello di Nizza, ecco un nuovo e recente modello(1) (2011) in cui si suggerisce che il sistema solare abbia avuto origine da un gas in rotazione che si è via via addensato sempre più al centro. Una cosa non dissimile sarebbe avvenuta intorno ad altri centri di aggregazione, che poi avrebbero formato i pianeti del nostro sistema solare. La teoria, però, non sembra aver riscosso un grande sucesso.